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如何解答一元二次方程的整数根问题

2021-11-30高姝姝

语数外学习·初中版 2021年4期
关键词:因式韦达判别式

高姝姝

一元二次方程的整数根问题涉及一元二次方程、整数的性质等多个知识点.它解法灵活多样,技巧性较强,是考试中同学们感到比较棘手的一类问题.若一元二元方程的两个根为整数,则其和差积仍为整数.运用这一性质就可借助根的判别式,根与系数的关系以及因式分解等知识,解答一元二次方程的整数根问题.

一、利用根的判別式解题

根的判别式即,它是判断一个一元二次方程是否有实根以及实数根的个数及分布情况的重要公式.一般地,在一元二次方程中,当方程有两个不相等的实数根时候,△>0;不是正整数;当方程有两个相等的实数根时,△=0 ;当方程没有实数根时,△<0.巧用根的判别式,可以使某些一元二次方程整数根问题得以快速获解.

例1①当非负整数a=___时,关于 x的一元二次方程x2-2x+a只有正整数根.②当k为何整数时,关于x的一元二次方程与的根都为整数.

解析:①由题意知,关于x的一元二次方程有实根,

则有△≥0,即4-4a≥0,解得a≤1.

∵a为非负整数, ∴ a=0或a=1.

当a=0时

解方程可得

评注:在利用根的判别式解答一元二次方程的整数根问题时,要注意如下两点:一是当一元二次方程有整数根时,△≥0;二是需验证所求值是否满足题意,使方程根为整数.

二、利用韦达定理解题

韦达定理揭示了一元二次方程根和系数之间的关系,即若的两根为则有,利用根与系数的关系,可以顺利解答一元二次方程的整数根问题.

例2

解析:

评注:韦达定理是解答一元二次方程整数根问题的一大重要法宝,但在使用韦达定理时,要注意把握两点:一是该方程必须为一元二次方程;二是必须建立在有根的前提下.

三、利用因式分解法解题

因式分解即把一个多项式化为几个最简整式乘积的形式.利用因式分解法解答一元二次方程的整数根问题的基本步骤是:先把原方程变形,然后通过因式分解,使其转为几个因式的积的形式,再根据已知条件,得出所分解因式的关系式或数值,进而使所求问题顺利获解.

例3

解析:

评注:因式分解法是数学中至关重要的恒等变形方法.利用因式分解法解答整数根问题的关键点就是合理变形和分解因式.

总之,解题有法,但无定法,贵在得法.解答一元二次方程的整数根问题的方法有很多,同学们要注意勤于思考,并及时归纳解题方法,总结解题经验,这样才能快速、准确地攻克这一难题.

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