程 勇

一、导论

在评价同行的研究成果时，我们常使用“深刻”这个词形容成果的“深度”。本文对“深度”的讨论限定于数学定理。对于何谓“深刻的数学定理”，学界有不同的看法。即使人们对某一定理是否深刻达成共识，人们对此定理“为何深刻”的理由仍可能有不同的看法。在关于数学定理深度的哲学讨论文献中，人们讨论得最多的四个问题是：（1）对给定的定理，对其是否深刻学界是否达成共识？（2）深刻的数学定理是否具有某些共同特征？（3）“深度”和其他一些概念间的区别——如丰富性、重要性、难度、基础性、解释力、优美性等。（4）数学深度是数学定理内在的客观特征还是与我们的兴趣和能力紧密相关的？对“数学深度”这一概念，我们没有精确的定义，目前也没有一个判断给定数学定理是否深刻的被广泛接受的一般标准。被认为深刻的数学定理可能具有不同的特征，不同的定理可能有刻画它们深度的不同标准。虽然我们很难给出一个判定任意给定的定理是否深刻的一般标准，但一个自然的问题是：对于被学界公认为“深刻”的单个数学定理，我们能否找到刻画此定理深度的一些标准，并基于这些标准论证此定理的深度。

哥德尔是20世纪最伟大的逻辑学家，他最重要的成果是于1931年发表的不完全性定理。不完全性定理是20世纪最重要的深刻发现之一，是现代逻辑发展史上重要的里程碑，它对逻辑学、哲学、数学、理论计算机科学等领域的发展产生了广泛、深刻而持久的影响，极大地改变了1931年之后数学基础研究的面貌。……