张 全，徐钰林，柯艳菲，郑 洋，吴昭君

(湖北科技学院 数学与统计学院，湖北 咸宁 437100)

一、引言与主要结果

对于平面上亚纯函数的Nevanlinna 理论及其相关记号，假设读者已经熟知，具体可参考杨乐[1]。假设f(z)是定义在复平面的某个子区域D上的亚纯函数, 如果z∈D满足f(z)=z，则称z为f(z)的不动点。关于定义在全平面上亚纯函数的不动点,可以参考庄圻泰、杨重骏[2]。1990 年，Lahiri[3]证明了如下定理。

定理A设f(z)是定义在全平面上的超越亚纯函数，如果存在a∈C使得δ(a,f)>0且δ(∞,f)=1，则f(z)有无穷多个不动点。

最近，郑耒芳[4]研究了亚纯函数的微分单项式的不动点，得到了如下结果。

定理B设f(z)是定义在全平面上的超越亚纯函数，δ(∞,f)=1，若δ(0,f) >0 ，则对任意的正整数k，ff(k)(z) 有无穷多个不动点且τ(ff(k))=σ(f)；若δ(0,f)=1，则ff(k)(z) 有无穷多个不动点且

自20世纪50年代起，就有人开始关注定义在多联通的圆环内的亚纯函数的值分布，但因为缺乏有力的工具，一直进展较慢。近10 年多来，随着圆环内亚纯函数的Nevanlinna特征函数及其两个基本定理的建立，圆环内亚纯函数的值分布重新受到关注。2005 年，Khrystiyanyn 和Kondratyuk[5，6]定义了亚纯函数的Nevanlinna 特征函数并建立了圆环内亚纯函数的第一、第二基本定理，应用圆环内亚纯函数的第一、第二基本定理，曹廷彬、仪洪勋[7]研究了唯一性，陈裕先和吴昭君[8]研究了圆环内亚纯函数及其导函数的Borel 例外值，吴昭君和陈裕先[9]建立了圆环内亚纯函数的Milloux 不等式，吴昭君、陈生安和陈裕先[10]研究了圆环内具有最大亏量和的亚纯函数及其导函数的特征函数的关系，吴昭君、玄祖兴、陈裕先[11]研究了圆环内亚纯函数的不动点，证明了如下结果。

定理C设f(z)是定义在圆环A(+∞) 上的允许亚纯函数，则f(z)有无穷个不动点，否则f’(z)必有无穷个不动点；如果存在a∈C使得δ(a,f) >0 且δ(∞,f) =1 ，则f(z)和f’(z)均有无穷多个不动点。

本文将继续研究圆环内亚纯函数的不动点，事实上，我们将证明

定理1设f(z)是定义在圆环A(+∞) 上的有限级允许亚纯函数，若δ0(∞,f)=1，对任意的正整数k和任意非负整数m，

(1) 当δ0(0,f)>0 时，fmf(k)有无穷多个不动点且τ(fmf(k)) =σ(f)；

(2) 当δ0(0,f)=1 时，fmf(k)有无穷多个不动点且

(m+1)T0(R,f)(R→+∞)

二、定理1 的证明

圆环内亚纯函数的Nevanlinna 理论是证明定理1 的主要工具，为此，先引用圆环上的亚纯函数的Nevanlinna 理论的记号和相关结果[5，6]。

当1

N0(R,f)=N1(R,f)+N2(R,f)。

定义f(z) 在圆环A0(R0) 上的特征函数为

T0(R,f)=m0(R,f)+N0(R,f)-2m(1,f),1

设f(z)是定义在圆环A(+∞)上的亚纯函数，如果

则称f(z) 是A(+∞) 内允许亚纯函数。分别定义f(z)的级σ(f) 和不动点的收敛指数τ(f)为

定义f(z) 的a∈值点的亏量为

定义极点的亏量为

定理1的证明需要用到如下引理。

引理1(第一基本定理)设f(z) 是圆环A(+∞)上的亚纯函数，则对任意的a∈都有

引理2[12](对数导数引理)设f(z) 是圆环A(+∞) 上的有限级允许亚纯函数，则对任意正整数k，

下面给出定理1 的证明。

定理1 的证明 注意到

T0(R，fmf(k))≤T0(R,fm)+T0(R,f(k))

≤mT0(R,f)+m0(R,f)+(k+1)N0(R,f)+S0(R,f)

≤(m+k+1)T0(R,f)+S0(R,f)

因此，

S0(R,fmf(k))=S0(R,f)

(1)

因为δ0(0,f)>0 ，则fmf(k)是圆环A(+∞) 上的有限级允许亚纯函数， 从而z(fmf(k))’-fmf(k)不恒为零。设

则

(2)

由对数导数引理知，

(3)

(4)

由第一基本定理知，

(5)

由对数导数引理，结合(1)式可得

(6)

如果z0是f(z)的t阶极点，那么z0是f(k)(z)的t+k阶极点，则

N0(R,f(k))≤(k+1)N0(R,f)。

因此

(7)

结合(2)-(7)式可得

因此，

(8)

且

(9)

注意到δ0(∞,f)=1，则

N0(R,f)=o(1)·T0(R,f)

(10)

(1)当δ(0,f)>0 时，存在0≤ξ<1，使得R充分大时，

(11)

将式(10)和式(11)代入式(9)得

即

因此τ(fmf(k))≥σ(f) 。由(1)得τ(fmf(k)) ≤σ(f)，因此τ(fmf(k)) =σ(f)。

(2)当δ0(0,f)=1 时，

(12)

将式(10)和式(12)代入式(8)得

(13)

而

(14)

结合式(13)和式(14)可得