车帅

【摘要】初三数学中考复习面临时间紧、知识点多等问题，所以帮助学生建立知识体系是事半功倍的复习方法.添加适当的辅助线解决几何问题一直是教学的重点和难点，本文就遇到中点常作辅助线的方法做一下总结.

【关键词】中线倍长;中位线;三线合一;垂径定理

方法一：倍长中线，构造全等三角形

基本图形所谓倍长中线，就是把中线或过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，从而转移边角关系.如图1，D为BC中点，延长AD到E，使得AD=DE，连接EC，可得到△ABD≌△ECD  EC=AB，∠E=∠BAE，∠B=∠ECDAB∥EC.

例1如图2，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13，求证：AB⊥AD.

分析点D是BC的中点，想到中线倍长法构造全等三角形转移边角关系，利用勾股定理逆定理证明AB⊥AD.

证明延长AD到E，使得DE=AD=6.

∵D是BC中点，∴BD=DC.

∵∠ADC=∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=13.

∵AB=5，AE=12，∴∠EAB=90°，

∴AB⊥AD.

例2如图3，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，

求證：AB=EF.

分析由AD=DE，想到延长BD到K，使得BD=DK，构造△ADB≌△EDK，由平行线性质、角平分线性质、等量代换，得∠DFE=∠K，最后由等角对等边证得EF=AB.

证明延长BD到K，使得BD=DK，连接KE.

∵AD=DE，∠ADB=∠KDE，BD=DK，

∴△ADB≌△EDK（SAS），

∴AB=KE，∠ABD=∠K.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∵EF∥BC，

∴∠DFE=∠DBC，

∴∠DFE=∠K，∴EF=EK，∴EF=AB.

注意，当遇到平行线和中点时，一般不选择中线倍长的方法，因为会涉及证明三点共线，此时可以选择延长线段，构造八字形.如图4，已知AB∥CD，E为BC中点，延长AE交CD于点P，则△ABE≌△PCEAE=EP.

例3已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.

分析“平行线+中点”考虑构造八字形，通过证△AEF≌△BEC，得到相等线段，利用中垂线性质证得结论.

证明延长CE交DA的延长线于点F，连接AF.

∵AD∥BC，∴∠F=∠ECB.

∵E是AB的中点，∴AE=BE.

∵∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌△BEC，

∴AF=BC，EF=EC.

∵DE⊥CE，∴DE是CF的中垂线，

∴DF=DC，∴DC=DF=AD+AF=AD+BC.

有时题中有中点但没有平行线，这时要作平行构造八字形，如图6，过C作CD∥AB，延长AE交CD于点P，则△ABE≌△PCEAE=EP.

例4如图7，已知△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF.

分析E是DF的中点，想到通过作平行线构造八字形△DEK≌△FECCF=DK，再利用等角对等边得到BD=DK，通过等量代换得到BD=CF.

图7证明过点D作DK∥AC交BC于点K.

∵DK∥AC，∴∠F=∠KDE，∠ACB=∠DKB.

∵DE=EF，∠DEK=∠FEC，

∴△DEK≌△FEC，∴CF=DK.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ABC=∠DKB，∴DB=DK=CF.

方法二：知一中点，找另一中点构造三角形中位线

基本图形如图8，在△ABC中，D为AB中点，可找另一边AC的中点构造三角形中位线，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半去解决线段相等及平行等问题.

例5如图9，在△ABC中，AD为BC边上的中线.已知AC=5，AD=4，求AB的取值范围.

分析已知D是BC中点，可找AC的中点E构造三角形中位线，利用三角形三边关系求出DE的取值范围，再利用三角形中位线等于第三边的一半求出AB的取值范围.

解取AC中点E，连接DE.

∵E是AC中点，

∴AE=12AC=52.

∴32

∵D是BC中点，

∴DE是△ABC的中位线.

∴AB=2DE，∴3

方法三：中点遇等腰三角形，莫忘“三线合一”

基本图形如图10，当等腰三角形ABC中有底边中点D时，常连底边中线，利用等腰三角形底边中线、顶角平分线、底边高重合去解决垂直、角相等等问题.

例6如图11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，E为BC边上的中点，若EF⊥AC于点F，求EF的长.

分析“等腰+中点”考虑三线合一，所以连接AE得到Rt△AEC，进而用等面积法求直角三角形斜边上的高.

解连接AE.

∵AB=AC，E为BC中点，

∴AE⊥BC，CE=12BC=6.

由勾股定理，得AE=8.

∵EF⊥AC，

由等面积法，得AE·CE=AC·EF，

∴6×8=10EF，

∴EF=245.

方法四：中点遇直角三角形，考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半

基本图形如图12，当D是Rt△ABC的斜边中点时，连接ADAD=12BCAD=CD=BD△ABD和△ADC是等腰三角形.

例7如图13，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E，F分别是AC，BC延长线上的点，且CE=CF=12AB，求∠EMF的度数.

分析由M是直角三角形斜边上的中点，想到连接CM，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半CM=12AB，因为CE=CF=12AB△CEM和△CFM是等腰三角形∠F=∠FMC和∠E=∠EMC，进而利用外角可求得∠EMF的度数.

解连接CM.

∵∠ACB=90°，M是AB中点，

∴CM=12AB.

∵CE=CF=12AB，∴CM=CF=CE.

∴∠E=∠CME，∠F=∠CMF.

∵∠ACM=∠F+∠CMF，∠MCB=∠E+∠CME，

∴∠FME=∠CMF+∠CME=12∠ACB=45°.

方法五：遇到中点，过中点作平行线，得到相似三角形

基本图形如图14，D是AB中点，过D作DE∥BC交AC于点E△ADE∽△ABCADAB=AEAC，根据D是AB中点AE[]AC=AD[]AB=1[]2E是AC中点DE是△ABC的中位线.

方法五和方法二可以互相推得，在应用时可以选择最合适的添加辅助线的方法.

例8如图15，已知AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，AD=BE=4，求AC的长.

分析过BC中点D作DK∥AC，可巧妙地构造一组相似三角形△BDK，△BCE和一组全等三角形△ABF，△DBF，运用相似三角形、全等三角形的性质，可得到AC与AE的数量关系以及DF，KF的长，运用勾股定理求出DK，进而求出AC的长.

解过点D作DK∥AC，交BE于点K.

∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠DFB=90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE.

∵BF=BF，∴△ABF≌△DBF.

∴AF=DF.∵DK∥AC，

∴∠AEK=∠DKE，∠KDF=∠EAF，

∴△DKF≌△AEF，∴KF=FE，DK=AE.

∵DK∥AC，D是BC的中點，

∴K是BE的中点，∴DK是△BCE的中位线，

∴CE=2DK，∴AC=3DK.∵BE=AD=4，∴DF=2，KF=1.

由勾股定理，得DK=5，

∴AC=35.

方法六：圆中遇到弦、弧中点，考虑垂径定理及其推论、圆心角定理、圆周角定理

基本图形如图16，当点F为弦AB的中点时，连接OF并延长交圆于点C，D，则直径CD平分弦AB所对应的优弧和劣弧，且垂直于AB.

如图17，当点B是CD的中点时，可知CB=BD，∠COB=∠BOD，∠CAB=∠BAD.

例9如图18，已知F，G分别是弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AFG=∠CGF.

分析连接弦心距OF，OG，得到∠OFA=∠OGC=90°，由OF=OG，得到∠OFG=∠OGF，最后用等式的基本性质推出答案.

证明连接弦心距OF，OG.

∵AF=BF，DG=CG，∴OF⊥AB，OG⊥CD.

∴∠OFA=∠OGC=90°.

由勾股定理，得OF=OG，

∴∠OFG=∠OGF.

∴∠OFA-∠OFG=∠OGC-∠OGF，

∴∠AFG=∠CGF.

以上是对遇到中点常作辅助线方法的一个总结，这几种辅助线添加方法不是相互独立的，有些是可以相互推导的，所以，做题过程中究竟添加何种辅助线，或是添加几条辅助线更合适，要因题而异，灵活应对.有些题可能添加辅助线的方式不止一种，究竟添加哪一种更合适，需要大家对这几种辅助线添加方法的实质理解清晰、透彻.