任志明， 戴雪， 包乾宗， 蔡晓慧， 刘洋

1 长安大学地质工程与测绘学院， 西安 710064 2 南京工业大学岩土工程研究所， 南京 210009 3 西安邮电大学自动化学院， 西安 710121

0 引言

有限差分法计算量小、容易实现，是地球物理学和地震学领域最常用的波动方程数值解法，也被广泛应用于逆时偏移和全波形反演中进行波场正反向延拓.但由于时间和空间离散，有限差分法会产生数值频散，不可避免地降低正演、成像和反演的精度.为改善其精度，不同学者先后提出规则网格和交错网格(Virieux，1986；Luo and Schuster，1990；董良国等，2000)、显式和隐式(Liu and Sen，2009a；Kosloff et al.，2010；Chu and Stoffa，2012)、空间域和时空域(Liu and Sen，2019b；Ren and Liu，2015；蔡晓慧等，2015)、非规则网格和无网格(裴正林，2004；孙辉和张剑锋，2019；Li et al.，2017；Liu et al.，2019；刘立彬等，2020；姜占东等，2021)有限差分.有限差分法在勘探地球物理和计算地震学的详细进展请参考Carcione等(2002)、刘洋(2014)和Moczo 等(2014)，这里不再赘述.

有限差分法的模拟精度由时间和空间导数的离散方式决定.提高空间精度的方法主要包括：增大空间差分算子的长度；优化空间差分系数(Zhang and Yao，2013；Liu，2014；Yang et al.，2017)；伪谱法(Kosloff and Baysal，1982；Fornberg，1987；Liu and Wei，2005；刘财等，2013；李青阳等，2018).采用长的差分算子逼近空间偏导数会增加计算量，且存在饱和效应(即算子长度继续增大对模拟精度的改善非常小).常规有限差分法的差分系数是基于泰勒级数展开得到的，只能保证低波数区域的模拟精度.优化有限差分法采用优化算法(如最小二乘、模拟退火等)逼近频散关系求取差分系数，可以大幅提高中-高波数区域的模拟精度.伪谱法通过正反傅里叶变换求取空间偏导数，理论上具有无穷阶/谱精度，但需要更多的计算时间.提高有限差分时间精度的方法包括：Lax-Wendroff法(Dablain，1986；……