罗丽

高中数学知识是对初中数学的延伸、拓展，初高中数学知识之间存在着很多的联系.在解答一些高中数学问题时，我们若能变换思考问题的方向，借助初中数学知识来求解，能达到化难为易的目的.下面就结合实例来谈一谈如何巧妙利用初中数学知识，解答与高中数学中的平面几何、解三角形、圆有关的问题.

例1.（广东省江门市2021届普通高中高三12月调研测试数学试题，第16题）正方形的边长为1，、分别为边、上的點，△的周长为2，则∠=______.

分析：该题主要考查平面几何中的动点问题，若采用高中知识求解，需通过解三角形、进行三角恒等变换、利用三角函数的性质，才能顺利解出.而利用初中平面几何知识：全等三角形、周长公式、四边形的性质可以高效解题.

解：如图1所示，延长至点，使得=，连接，由题意可得△≌△，则∠=∠，=，

由于△的周长为2，可得=2--=1-+1-=+=+=，                             图1

又由于=，=CP，可得△≌△，则∠=∠，

在四边形中，由于∠+∠=∠+∠=180º，

所以∠+∠=180º，而∠=90º，则有∠=90º，

所以∠==45º.

在利用初中平面几何知识解答高中平面几何问题时，要根据平面几何图形合理添加辅助线，以便构造全等三角形、平行四边形、直角三角形等，利用全等三角形的性质、边角的关系、平面四边形的性质等建立关系式.

例2.（2020届浙江省杭州四中高三上学期期中考试，第16题）在△中，∠为直角，点在线段上，满足=2=2，记∠=，若对于给定的，这样的△是唯一确定的，则=______.

分析：该题属于解三角形中的动点问题，需灵活运用基本不等式、三角函数、解析几何等等知识来处理.而利用初中阶段圆的知识可以有效破解难题.

解：作△的外接圆，如图2所示，

根据题目条件可知，对于给定的，这样的△是唯一确定的，那么直线与△的外接圆的交点必须是唯一的，即直线与圆的相切，

结合圆的切割线定理，可得=·=2×3=6，

解得=.

我们通过构造三角形的外接圆，结合图形进行分析，快速确定直线与圆的位置关系，利用圆的切割线定理便可快速解题.

例3.在△中，分别为角所对的边，若=2，△的面积为1，则的最小值为_____.

分析：运用高中数学知识解答本题，需根据边长所对应线段的比例关系以及面积的定值来确定第三边的最值，要灵活运用解三角形中的余弦定理、三角形的面积公式、三角函数的性质、导数法等来处理.而利用初中相关公式则可以快速解题.我们根据三角形面积的海伦公式建立新的关系式，把解三角形问题转化为方程问题，利用方程的判别式来建立相应的不等式，通过解不等式即可求得边长的最值.

解：由三角形面积的海伦公式==1，其中=，

而=2，则16=（++）（-++）（-+）（+-）=-（++）+2（++）=-（++16）+2（+4+4），

則9-10++16=0，

而关于的一元二次方程的判别式△=（-10）-36（+16）=64-576≥0，

可得≥3，解得≥，即的最小值为.

总之，运用初中数学知识也能巧妙破解高中数学问题，特别是在遇到与高中数学中的平面几何、解三角形、圆有关的问题时，运用初中的平面几何、三角函数、函数、方程等知识，能快速、有效地破解难题.所以同学们要夯实基础，将初高中数学知识融会贯通，这样在解题时便能灵活运用基本知识，将问题加以巧妙转化.

（作者单位：山东省聊城第三中学 ）