方权清,阮其华

(莆田学院 数学与金融学院，福建 莆田 351100)

0 引言

有界整函数一定是常值函数,这就是复变函数论中经典的Liouville定理。尽管Liouville定理非常简洁,但它却是复变函数论中一个非常有意义的结果。这个结果不仅在复变函数论中有广泛的应用,在偏微分方程中也有广泛应用。例如,Navier-Stokes方程的解[1]、Riemannian流形上的古典解[2]等问题的研究。

对于实轴上定义的有界无穷可微函数,不能期望它恒为常值函数。但是对于复变函数而言,有界无穷可微函数一定是常值函数。这也说明了复变函数和实变函数的某些性质存在巨大的差异,复变函数的性质并不是实变函数性质的机械平移。

通常,复变函数论中关于Liouville定理的证明是利用Cauchy不等式,得到有界的整函数的导数是0,从而得到这样的整函数是常值函数。复变函数f(z)＝u(x,y)＋i v(x,y)在区域D上解析当且仅当在区域D上u,v是C2实变函数,并且满足Cauchy-Riemann方程。Liouville定理指出了有界整函数f(z)必为常值函数。Liouville定理的证明在很多文献上可以见到,例如文[3－5]。

对于解析函数,由于实部和虚部是共轭调和函数。调和函数在偏微分方程中已有一些非常经典的结果,因此本文中也利用偏微分方程已有的一些结果和方法给出Liouville定理的新证明。在偏微分方程中,证明一个调和函数的最大值和最小值只能在区域的边界取到。比较常见的一种证法是用拓扑的方法,证明如果这个函数在内部取到最大值(或最小值),那么函数的最大值点(或者最小值点)构成的集合既是开集又是闭集。……