赵 暾，周 宇，程艳青，钱炜祺，*

(1. 空气动力学国家重点实验室，绵阳 621000；2. 中国空气动力研究与发展中心，绵阳 621000)

0 引言

自从Hinton[1]在2006年提出深度学习的概念之后，最近几年深度学习在科学领域和商业领域已经取得了巨大的成功。一般来说，深度学习需要大量的训练样本，通常应用在大数据领域，而且由于过度依赖训练数据，导致泛化能力差，同时还具有以下缺点：缺乏推理和因果关系的表达能力而导致表征能力弱；无法解释形成决策的推理过程；很难在计算过程中导入选择性注意力机制。

在实际工程领域，受成本限制，所获取到的样本数据量是有限的。因此，很难将深度学习技术直接应用于小样本问题领域。但是这些数据通常都包含由物理定律、经验规则或者领域知识构成的先验信息。如何将深度学习方法有效运用到包含先验信息的小样本数据领域，相关学者做了大量研究。其中，美国布朗大学Karniadakis教授团队做出了较为出色的工作。他们通过将蕴藏在小样本数据中的先验信息编码到深度网络中，提出了一种新的深度学习算法—内嵌物理机理神经网络[2]（Physics-informed neural networks，PINNs），该网络可以由神经网络对输入及模型参数进行自动微分所获取。PINNs通常受到数据中包含的物理定律的约束，而这些物理定律一般可以建模成时间相关的非线性偏微分方程。这样就可以利用PINNs发展出一类新的偏微分方程数值求解方法以及一类新的系统辨识和模型反演的数据驱动方法。……