宋丛威，张晓明

(北京雁栖湖应用数学研究院, 北京 101408)

0 引 言

目前印染工业面临的问题，是根据已知的颜色，给出染料浓度配比，使得布料染出所需颜色[1]。文献[1]中已经建立了一个高效的线性模型用于预测染料浓度，本文则讨论另一种预测浓度的方案。工人通常会在正式染色前，对样品进行试验性的染色，得到一组浓度配比。这本身也是目前印染业标准生产流程的环节。理想情况下，样品试验得到的是正式染色的浓度配比。但在实际效果上却总是存在一定的误差。为了利用样品试验数据来预测正式染色时的染料浓度配比，提出了线性模型[2-3]：

其中，x、y分别是样品浓度配比和正式染色的浓度配比。

注意：x是向量，代表样品试验浓度配比，而y是数量，代表正式染色的浓度配比的一个分量。即使y是向量，也假定各分量是独立的，则分别研究每个分量即可。

为了便于理论分析,把所有参数整合成一个向量θ=(a,b)，并把线性模型表示为[4]：

(1)

其中，Cφ(x)表示由x决定的一组基。在本文中由x的分量和1构成。考虑到下述对数线性模型：

(2)

相当于对y做对数化预处理。由于x、y有相同的物理意义，x也会做对数化预处理。

设θ为p维向量，对于N个样本，则有：

(3)

本文对相对误差做一些改良。此时，最小二乘法的代数方法不再适用，需用梯度下降法(GD)进行优化。这就是本文要解决的技术问题。最后的数值实验说明，在该误差下，本文方法优于普通的线性回归。

1 百分误差与损失函数

1.1 矩阵分析

(4)

(5)

图1 不同y值产生的误差绝对值