华恩亨

二面角问题是高中立体几何中的一类常见题目.虽然此类问题的命题方式多种多样，但解题的方法却是大同小异.因此在解答二面角问题时，我们要学会“以不变应万变”，牢牢抓住题目的特点，选择合适的解题方法和思路进行求解.本文主要介绍以下两个求解二面角的办法.

一、构造三垂线

在解题时，我们常根据二面角的平面角的定义来添加辅助线，构造三垂线，利用三垂线定理来解题.如图1所示，已知平面α、平面β和線段l，假设α-l-β为锐二面角，过平面α内一点P作一条垂直于面β的垂线PA交平面β于A点，过点A作线段l的垂线AB交线段l于B点，连接P、B就可以得到一个直角三角形PAB，根据三垂线定理可知，线段PB⊥l，那么∠PAB就是锐二面角α-l-β的平面角.通过解直角三角形PAB，便可求得∠PAB的大小.

例1.已知一个棱长都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C1，BC的中点是E点，侧棱CC1上有一动点F，且不会与C点重合.假设二面角C-AF-E的大小是θ，求二面角的正切的最小值.

解：如图2所示，过E作EN⊥AC于点N，过N作MN⊥AF于M，连接M，E.

由正三棱柱的性质可得EN⊥侧面A1C，由三垂线定理可知EM⊥AF，因此∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ.

设∠CAF=α，那么0°<α≤45°，

在Rt△CNE中，    .

在Rt△AMN中，MN=AN·sinα=3sinα，

因此    .

又因为0°<α≤45°，所以，

因此当时，tanθ的最小值为    .

解答本题主要根据二面角的平面角的定义构造出三垂线，然后运用三垂线定理证明∠EMN是二面角C-AF-E的平面角.在构造三垂线时，要注意抓住几何体的特点和几何图形中的垂直关系.

二、构造垂面

构造二面角棱的垂面也是解答二面角问题的常用办法.有些二面角的平面角借助……