吴春乔

不等式证明问题的综合性比较强，侧重于考查同学们的逻辑思维能力和分析推理能力.要顺利证明不等式，同学们不仅要熟练掌握不等式的性质、放缩不等式的技巧，还要学会一些证明不等式的常规方法.本文重点探讨了证明不等式的三种常规方法：作差法、分析法以及反证法.

一、作差法

作差法常用于证明含有多项式的不等式问题.在证明不等式时，可将不等式两边的式子相减，再进行合理的变形、化简、因式分解，直至得到能容易判别出差式的正负符号的式子.一般地，若A-B<0，则A<B;若A-B>0，则A>B.

例1.已知0<a<b，那么正确的有（    ）.

A.    ;    B.    ;

C.;    D.

分析：首先根据已知条件0<a<b和基本不等式就可以直接得出    .对于和a，可先将两者同时平方去掉根号再作差，即，因此    .同理可得，，因此;接下来需要对b和的大小进行比较，还是用作差法，，因此可以得出    .综上所述，，因此正确选项为B.

解答本题，主要利用了不等式的性质、基本不等式以及作差法.

二、分析法

运用分析法证明不等式的主要步骤是：要证明……只需要证明……就需要证明……用分析法证明不等式的关键是，找寻能够证明题目中的结论成立的充分条件或者充分必要条件.在证明不等式时，首先应从需要证明的结论入手，运用所学的公式、定理、定义等一步一步地进行推理、运算，最后得出与已知条件相符的结论，那么就意味着所要证明的不等式成立.

例2.已知x≥1，y≥1，试证明：    .

证明：要证明，

只需证明xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2，

就需证明：（xy）2-1+（x+y）-xy（x+y）≥0，

则证明：（xy-1）（xy+1-x-y）≥0，

即证明：（xy-1）（x-1）（y-1）≥0.

因为x≥1，y≥1，因此上式是