江苏省苏州第一中学 (215000) 夏 婷

数学学科能力是数学科学素养的核心，数学课堂教学是培养学生数学能力的重要途径，也是培养落实学生核心素养的重要环节．本节课通过将教材例题、习题等资源进行有效的整合，以热身训练的三道小题为切入点，设计例题，让学生从基本的图象入手，进一步巩固图象的变换以及绝对值函数处理方法、引导学生从多个角度分析问题、解决问题．师生合作探究，共同体会分类讨论、数形结合、函数与方程等经典的数学思想方法．

现将本节课的教学实录及思考整理如下，供读者朋友品评：

1 学情分析

教学对象是四星级高中的高一重点班学生，基础良好，有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力．

2 知识点解读

函数图象是研究函数性质的重要工具，高考对这一内容的考查主要涉及作图、识图和用图三个方面，其中函数的零点问题和最值问题是直观想象在函数中的重要应用，即能够用图形直观认识数学问题；能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合；能够用图形探索解决问题的思路，形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义．

这类试题的解法常以“定性分析”和“定量计算”相结合，难度虽然不大，但要求学生具有一定的运算能力和问题解决的能力．

教学目标：

(1)巩固函数图象的作法：直接法、转化法、变换法；

(2)利用函数的图象研究方程根的个数，感悟函数与方程思想在解题中的应用；

(3)通过函数图象、函数性质等知识间的联系体会数形结合、转化与化归等思想方法．

教学重点：能运用数学知识解决与函数图象相关的问题．

教学难点：能在分析问题的过程中合理选择解题方法，优化求解过程．

3 过程实录

3.1 学生自测反馈

用导学案辅助教学，课前以填空题的形式引导学生自主完成.

热身训练

1.函数y=|x|(x+2)-m有两个不同的零点，则m的值为．

3.函数f(x)=x|x-4|在[0，3]上的最大值为．

图1

图2

图3

设计意图：课前给出3道基础题热身，通过问题引导学生回顾函数图象的几种常见变换，运用变换能作一些基本的函数图象，为例题中数学活动的探索打好基础，树立学生解决问题的信心和耐心，提高学生学习数学的兴趣．同时导学案准备好坐标系，引导学生规范作图，有助于培养学生养成良好的学习习惯．

3.2 典型例题讲析

图4

图5

图6

师：刚才几位同学总结的非常到位，通过不同转化，大家都能从中体会到函数内容的丰富，处理方式多样．当然转化方式不同，处理繁简程度也不一样，需要同学们合理选择最优方法．下面我们思考一道变式题：

图7

生5：作出直线y=m与y=f(x)图象(如图7)，设三个交点横坐标从小到大分别为为x1,x2,x3，则m∈(2,3)．

由二次函数的对称性知x1+x2=-2，2<3-log2(1+x3)<3，得x3∈(0,1)，所以x1+x2+x3∈(-2,-1)．

设计意图：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数与形的结合开拓了数学的新领域，促进了数学的发展．某些特殊问题，若用常规方法来解，推理运算的过程可能会较复杂；若能将代数问题几何化，即利用数形结合的方法解决，以形助数，往往会使运算或推理论述的过程简化，直观形象，从而更能展示问题的本质．

例3 函数f(x)=x|x-m|(x∈R)．

(1)若f(4)=0，求实数m的值并指出f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值的表达式g(m)．

师：第一问中给出的特殊情况m=4，而第(2)题中m是动态变化的参数，我们该如何分析呢？请生8给我们提供他的想法.

下面对实数m分类讨论，并利用函数图象以及单调性去分析(学生作图、思考)．

师：对于本题中的含参分段函数问题，我们发现这两段图象的每一段都是二次函数图象上的一部分，所以按照生8的想法，解决这题肯定是充满希望的．首先，我们发现m=0和m<0时，函数在[0,2]上是单调递增的，即：

①当m=0时，f(x)在[0,2]上递增(如图8)，所以[f(x)]max=f(2)=4；

②当m<0时，f(x)在[0,2]上递增(如图9)，所以[f(x)]max=f(2)=2(2-m)；

那么当m>0时，最大值还是在x=2时取到吗？通过观察，还有可能在顶点处取到最大值．

③当m>0时，f(x)的图象(如图10)，对二次函数对称轴分类讨论：

图8

图9

图10

师：大家群策群力，顺利解决问题．对于含有绝对值的函数问题，我们首选的处理方法或者说通用的方法是去掉绝对值符号，然后进行分类讨论，那么本例题中，请大家结合函数图象变换的方法再思考一下，能不能用别的方法作函数图象呢？(学生交流、讨论)

生：对于x∈[0,2]时，函数f(x)=x|x-m|=|x(x-m)|，可以利用函数图象的翻折变换，只要将x轴下方的部分沿着x轴翻折到上方，然后所对应的图象上取x∈[0,2]时就是需要的部分．

师：很好！既然作图的方法可以直接法和变换法都行，作好图是前提工作．那么，在情形③中，当m>0时，我们能不能用好图象，宏观上找到最大值的表示方法？在习题中，我们是否还记得有一类函数叫作最大(小)值函数呢？

设计意图：教师是学生学习的引导者，而引导学生进一步探究需要先前经验．因此教师要善于引导学生回顾先前经验，促进学生对先前经验进行组织，归纳和深化，实现良好的学习效果．本题就是将m=4特殊情形引申到m∈R的一般情况．引导学生探究更一般的结论，揭示其内在的依据，并作出推广．此外，特殊化思想也可用于解决一些抽象、概括度较高的问题，比如本题中m∈R图象的探究中，可以引导学生m=0，m>0，m<0三种情况逐个探究，找到解题的突破口，从中发现规律并顺利解题．

3.3 课堂小结(略)

4 回顾与反思

(1)问题引领 优化结构

例1运用逻辑推理构建数学体系，通过数形结合将代数问题几何化，从而将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题．学生根据结构可以多个角度进行转化，通过对问题结构加以分析，学生倾向于选择自己熟悉的或者易求的函数来解决．教学实践中，注重一题多解一题多变，多层次分析问题，不断概括学习方法，培养学生良好的思维品质．由此可见，教学过程中要立足“四基”，引导学生发现问题，抓住本质，通过不断尝试、讨论交流、总结归纳等活动，分析问题，完善解题过程，并在教学中不断渗透转化与化归、数形结合等数学思想方法．逐步提升学生的数学能力，促进学生数学素养的提升．

(2)重视探究 提升思维

进入高一，学生普遍感觉课堂上讲解的知识和例题基本能听懂，但是课后巩固练习中，有些结构新颖、灵活度高的习题给学生的数学学习带来障碍，有些学生甚至会产生畏惧感．其实这些问题看似不同，考查的知识和解决的基本方法是不变的，若能看清问题的本质，学生方能应用自如．例题分析时，从不同的视角加以分析、引申和拓展，考查了思维的过程与方法，凸显思维的灵活性和深刻性．此外，还要探究和反思解题思路中多种方法之间的联系，筛选题中信息，提取条件进行整合．因此，教师需要培养学生找准分析问题的切入点，引导学生选取合适的解题视角，将“未知”的问题转化为“已知”的结构，才能逐步体会成功解决问题的喜悦，从而实现不同层次的学生学有所得．

总之，提升学生的数学思维能力是每一位数学教师的教学追求．教师唯有多学习、多思考，认真挖掘教材，深化基础知识联系，精心设计教学，才能让学生在课堂上提升自己的思维能力，得到学生更好的发展．