郭明明，姚文莉

(青岛理工大学 理学院，青岛 266525)

Udwadia-Kalaba方法是南加州大学的两位教授，UDWADIA和KALABA，在1992年提出的一种针对受约束复杂机械系统动力学建模的新方法[1]。 该方法与其他传统的动力学建模方法有所不同，它在解决受约束系统动力学问题时，不需要引入辅助变量，可以得到解析形式的动力学方程和显示形式的加速度表达。 可以说，该方法为动力学问题的求解提供了一种新思路。

随着研究的不断深入，Udwadia-Kalaba方法被推广到了广义坐标表达的形式[2]，它的应用范围也被扩展到了非理想约束系统[3-6]，奇异质量矩阵系统[7]等一般的机械系统[8-9]。 现在，Udwadia-Kalaba方法凭借其在表达上的简洁性和一般性，已经被广泛应用于多体系统的动力学建模[10-19]，同时系统理想约束力及加速度的显式表达方法为基于逆动力学的控制问题提供了新的思路和理论基础。

然而，Udwadia-Kalaba方法在拥有上述诸多优势的同时，也存在着一些问题。 当使用Udwadia-Kalaba方法来处理含有库仑滑动摩擦的多刚体系统时，求得的理想约束力和非理想约束力无关，这与实际情况是不符合的。 对此，姚文莉等[20]提出了修正方法，研究了滑动状态下理想约束力的表达方法。

对于考虑干摩擦的刚体系统的运动过程，滑动-黏滞及摩擦自锁等非光滑现象不容忽略。 本文借助于修正的Udwadia-Kalaba方法，研究了包含滑动和黏滞两种状态的非光滑刚体系统动力学方程，并建立了数值求解的计算框架。

1 Udwadia-Kalaba方法的描述

考虑无约束的机械系统，其动力学方程可以表示为