李硕 田中大

摘要：本文对离散时间非线性Markov跳变系统研究了未知输入观测器（UIO）设计问题。所提出的未知输入观测器具有较为新颖的结构。在文中给出了基于Lyapunov函数的未知输入观测器设计的可行性条件，并将其转化为一组线性矩阵不等式（LMI）条件，便于利用软件的相关工具箱进行参数求解。最后通过对车辆横向动力学模型的数值仿真，验证了该方法的有效性与实用性。

关键词：Markov 跳变系统;离散时间;非线性;未知输入观测器;线性矩阵不等式

中图分类号：TP273      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）25-0139-05

Abstract：The unknown input observer （UIO） design problem for discrete time nonlinear Markov jump systems is studied in this paper. The proposed unknown input observer has a relatively novel structure. In this paper， the feasibility conditions for the design of unknown input observer based on Lyapunov function are given， and the conditions are transformed into a set of linear matrix inequality （LMI） conditions， which can be easily solved by using the related toolbox of the software. Finally， the effectiveness and practicability of the proposed method are verified by numerical simulation of vehicle lateral dynamics model.

Key words： arkov jump system;discrete time;nonlinear;unknown input observer;linear matrix inequality

1 引言

对实际系统的理论研究中，对系统进行精确的建模直接地影响到研究结果应用到实际中的有效性。由于Markov跳变系统具有较强的模型构建能力和广泛的应用潜力，过去的几十年间，广大的研究学者投入大量的时间和精力来研究Markov跳变系统并取得了丰硕的研究成果[1-2]。文献[3]对部分转移概率不可获取的一类Markov跳变系统设计了观测器，并基于观测器提出了该系统的滑模控制方法。近些年来，由于连续时间Markov跳变系统相关的研究成果应用在离散时间Markov跳变系统中难以获得较好的控制效果，这就激起了广大学者对离散时间Markov跳变系统研究的热情。文献[4]研究了在不可用状态和部分未知的转移概率下，离散时间马尔可夫跳跃系统的事件触发滑模控制问题。具有马尔可夫跳变规律和乘性噪声的离散系统在成本函数中具有不确定状态和控制权矩阵的最优控制问题在文献[5]中被研究。但是据我们所知，目前对于时间离散的Markov跳变系统的观测器设计问题还没有被充分研究，正是因此激发了我们当前的研究。

在本文中我们针对离散时间非线性Markov跳变系统提出了一类形式较新的未知输入观测器。本文有如下几项主要贡献，1）考虑了一类离散时间非线性Markov跳变系统并通过T-S模糊模型方法转化为一类T-S模糊系统，转化后的系统可以看成是局部线性且全局非线性的形式，扩展了文献[6]结果的适用范围。2）针对局部线性系统对其设计一类不同于传统结构的较为新颖未知输入观测器，并对估计误差系统进行了稳定性分析，以及引入了松弛变量来降低所得结论的保守性。

文章剩余内容安排如下，第二章给出了具有模糊输出方程的非线性Markov模型以及其T-S模糊模型描述;第三章对变形后的非线性Markov跳变系统即T-S模糊系统设计了未知输入观测器，以及得到了估计误差系统稳定的条件，并完成了相关定理的推导证明;第四章给出了数值算例及仿真，证实了定理的有效性;第五章对全文做出了总结。

概念：[Rn]和[Rn×m]分别表示[n]维欧几里得空间和[n×m]实矩阵集。[0]和[I]分别表示具有适当维度的零矩阵和单位矩阵。[||·||]表示[L2]范数。对于矩阵[A]，[AT]表示矩阵[A]的转置矩阵。对于一个对称矩阵[P]，[P>0（≥0）]和[P<0（≤0）]表示[P]是正（半）定和负（半）定矩阵。星号[*]代表对称性产生的项。

2 問题描述

T-S模糊模型是用一组模糊规则，将非线性系统模型由一组局部线性系统模型来表示，这些局部线性模型通过模糊隶属度函数平滑连接。模糊线性系统由IF-THEN规则描述。在全概率空间（Ω，F，P）中，我们考虑一类时间离散的非线性Markov跳变系统，该系统的全局模型可以用具有r条规则的T-S模糊模型表示，r表示If-Then规则的数量。T-S模糊模型的第i条规则如下：

为了合成未知输入观测器（6），我们提出如下定理。

注意到式（10）中的条件不能直接用于未知输入观测器设计。因此，我们提出以下的定理来将定理1中的条件转化为LMI约束。

4 仿真分析

为验证以上所述方法的实用性，在本章给出实际例子对前文加以验证。考虑文献[7]所提出的车辆横向动力学系统，其系统描述如下：

按着整车质量的不同，考虑到车载质量的变化，同时兼顾算例的简洁性，将模态[θk]划分为两种，即模态空间[S={1，2}]，模态1为[m1=991kg];模态2为[m2=1060kg]。两规则（Rule）两模态（Mode）的各参数矩阵分述如下（为了便于表示，用R1-M1表示规则1-模态1，其他情形以此类推）：