史亚丹

湖南信息学院 通识教育学院 湖南 长沙 410100

1 引言

矩阵的对角化是线性代数的一个重要研究内容,其中实对称矩阵的正交对角化将二次型化为标准形更是将线性代数和解析几何紧密结合在一起。任意实对称矩阵都可以通过正交变换相似对角化,当实对称矩阵的特征值是重根时,常见的方法是用Schmidt正交法将重根对应的特征向量正交化,再进行单位化[1]。但是Schmidt正交化的公式较为繁多且计算复杂,导致许多学生在解题过程中容易忘记公式或计算错误。很多数学研究工作者对此做了大量研究,提出了不同的求解方法[2-8]。这些方法中包含了线性方程组法、矩阵变换法、向量空间法等,理解略有些复杂。

本文通过正交向量组中向量的两两正交性,以及自由未知量的不同选择,研究了n阶实对称矩阵A=（aij）n×n（aij=aji）有n-1重根特征值时的正交对角化问题,给出了快速求解正交矩阵的简便方法,然后用例题进行详细说明。

2 直接正交对角化的简便方法

设λi为n阶实对称矩阵A的n-1重根特征值,对应可以得到一组n-1个线性无关的特征向量,进而正交对角化。

现将（λiE-A）x=0的系数矩阵化为行最简型为

（其中a12,a13,…,a1n不全为零）。则（λiE-A）x=0的一个同解方程组为

以此类推,可获得属于特征值λi的一组正交的特征向量。与常规方法比较,上述方法更直观简便,且避开了Schmidt正交化法,减少了计算量。

3 直接正交对角化方法的举例

3.1 三阶实对称矩阵的正交对角化

若三阶实对称矩阵具有重根的特征值,则重根最多为二重根。……