覃宝丞

天津师范大学 物理与材料科学学院 天津 300000

1 理论

在经典情形下,要求实物粒子的运动只需要牛顿定律即可比较精确地得到粒子的运动方程。但是在微观情形下,牛顿定律无法得到微观粒子的运动方程,此时需要量子力学去处理这样的问题。通常运用薛定谔方程来求解微观粒子的运动。

分析力学于量子力学之间有着紧密的联系,分析力学中常应用变分原理来解决粒子运动问题,如果推广至微观粒子情形则可尝试运用Hamilton原理并由粒子运动的拉格朗日密度去求解波函数。

Hamilton原理的内容为[1]:在相同时间内保守的、完整的力学体系中,由某一初位形转移至另一已知位形的所以可能的运动中,其真实运动的主函数具有稳定值,即对于真实运动来说,主函数的变分为零。

若设qα（α=1,2,…,s）为广义坐标,t为时间,则当δt=0时有,

又由（1）有

式（4）即为Hamilton原理的数学表达式:

波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。为了定量地描述微观粒子的状态,量子力学中引入了波函数,并用ψ表示。一般来讲,波函数是空间和时间的函数,并且是复函数,即ψ=ψ（x,y,z,t）。玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在时刻t,在点（x,y,z）附近单位体积内发现粒子的概率。波函数ψ因此就称为概率幅。在上世纪二十年代,德布罗意提议,与任意物质粒子的运动相关联的是一组平面波,全部平面波均由一个波函数表征。

波函数并不携带着能量与动量,只起着引领粒子运动的作用,加载于粒子运动内。……