徐汝阳 邱智宇 苏桂锋 肖桂娜

(上海师范大学数理学院物理系 上海 200234)

导热系数是用于表征材料导热性能的一个参数，热扩散率说明物体传导热量速度的快慢，通过确定导热系数与热扩散率可以区分各种物质是否适合作为导热材料或保温材料.工业上的大型仪器能够精确测量出流体的导热系数与热扩散率，但成本较高，不适用于实验室研究或日常测量.本文采用瞬态热线法作为理论模型，通过降低成本、简化装置，设计了基于Arduino平台的测量流体热扩散率和导热系数的实验.

1 理论推演

在诸多测量流体的导热系数与热扩散率的方式中，瞬态热线法被广泛认为是精确度最高的方式之一.通过直接测量出导热系数并建立关系，便可求得流体热扩散率[1].由于热线法测量实验装置简单，测量范围广泛，本装置采用交叉热线法进行流体导热系数与热扩散率的测量.

1.1 实验理论模型——热线模型

将一根长度为l，半径为r0的金属线作为热源置于被测试样品的几何中心，如图1所示.

图1 置于被测流体中的热线

1.2 无限大非稳态导热模型

假设被测试样品是密度为ρ、比热容为c的均匀流体，其初始温度为T0，测量其导热率λ与热扩散率a.

当t=0时，接通加热装置使热线升温，升温后测得温度T，设ΔT=T-T0为加热后的温升.假设热线的热量不会向两轴向传播.在柱坐标下建立一维瞬态导热微分方程[1]

(1)

t>0 0

式(1)中r是柱坐标中坐标变量，而a为被测流体的热扩散率.

由初始条件以及边界条件可知

ΔT(r,t)=0t=0

(2)

r=r0ΔT(r,t)=0r=∞

其中r0为热线的径向坐标值.

经过拉普拉斯变换后，导热系数可表示为

(3)

式(3)中

式中γ为欧拉常数，γ≈0.577.

因此，在已知该热线的线功率的情况下，通过所测得的温升与时间的关系便可以通过计算求得被测流体的导热系数以及被测流体的热扩散率.

1.3 交叉热线法测量技术

为了能够通过间接测量温升与时间参量，并通过曲线或线性拟合后得到某种流体的导热率与热扩散率进行技术上的进一步处理，在此我们使用交叉热线法的测量技术，示意图如图2所示.

图2 瞬态交叉热线法示意图

(4)

式中C=eγ≈1.78.

由以上推导，我们便可以看到ΔT与lnt之间的关系.因此我们可根据所测得数据绘制ΔT-lnt图像，并通过线性拟合的方式求得该曲线的斜率与截距，也就是A与B的值.随后，我们便可通过以下计算求得被测流体的导热系数和热扩散率.

被测流体的导热系数为

(5)

被测流体的热扩散率为

(6)

2 实验设计

本实验需要使用Arduino UNO-R3开发板(图3)、采用防水型不锈钢探头的DS18B20温度传感器作为数据采集装置，镍铬线、电池、导线、电工胶带及其他耗材作为加热装置.除此之外，也需要一台计算机用于接收、记录实验数据.实验的准备工作包括：为开发板上传温度传感器的程序代码；将各部件组装完成，并将开发板与计算机相连，以便实验数据的传输及记录.实验装置实物图如图4所示.

图3 Arduino UNO-R3 开发板

图4 实验装置实物图

实验过程主要分为以下几步：

(1)将测温装置放入待测液体并静置液体至均匀状态，可得其初始温度T0.

(2)接通电源并开始测量，通过Arduino的串口监视器窗口记录数据.

(3)通过所测得的数据，绘制ΔT-lnt图像，并对所得曲线线性拟合，通过拟合出直线的斜率A与截距B的值计算出液体的导热系数和热扩散率.

3 数据测量与分析

3.1 理论值

本实验采用水作为待测流体，其密度ρ=1×103kg/m3，比热容c=4.2×103J/(kg·K)，在标准大气压下的导热率与热扩散系数的理论值如表1所示[3,4].

表1 水的物性参数

3.2 实验数据

图5 298 K水ΔT-ln t图像

由图像可知初始时刻加热源尚不稳定，上升趋势仍为曲线.当lnt大于2小于4.5时，ΔT-lnt曲线可近似为直线，但当lnt大于4.5时，该曲线逐渐不可再近似为直线.因此我们在数据拟合时需要选择最佳的测量时间[6,7],如图6所示.图7为303 K的水ΔT-lnt图像最佳测量时间.

图6 298 K水ΔT-ln t图像最佳测量时间

图7 303 K水ΔT-ln t图像最佳测量时间

通过图6、图7可以发现，在20.331～75.723 s的区间中，拟合直线与原曲线较为契合.因此，选取这一测量区间进行分析时，实验结果会较为精确.

3.3 误差分析

确定了最佳测量时间后，我们再次对298 K的水的导热率与热扩散系数进行5次测量并进行了数据处理，其结果如表2所示.

表2 298 K水的导热系数与热扩散率

当时间区间为20.331 s至75.723 s时图像曲线最接近直线，曲线拟合结果如下：298 K水ΔT-lnt曲线斜率的值为3.875，截距的值为-1.983.本次实验所使用的热线的线功率为

4 结论

本实验设计基于瞬态交叉热线法对流体导热系数与热扩散系数进行测量，在理论上依据无限大非稳态导热模型进行实验设计.实验采用交叉热线法，测量温升ΔT与时间对数lnt并绘制ΔT-lnt图像.在图像上选择最佳的测量时间并保障足够长的有效测量时间，通过线性拟合计算出特定流体的导热系数与热扩散率.相较于工业用仪器的昂贵价格，本实验装置基于Arduino平台，利用Arduino UNO-R3开发板、DS18B20温度传感器与镍铬线制成的加热装置等材料搭建仪器，将每台装置的成本控制在30～40元人民币左右，并在误差允许的范围内准确通过线性拟合方式测量出特定密度与比热容的流体的热扩散率与导热系数，更易于学生开展实验.