黄 飞，刘树德

(1.安徽信息工程学院 通识教育与外国语学院，安徽 芜湖 241000；2.安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241000)

1 引言

考虑燃料与氧化剂没有预先混合的燃烧问题。假设燃烧的扩散效应与反应速度之比ε很小，燃料与氧化剂相遇并反映时火焰的位置为x=0，火焰在x处的厚度为y，则可归结为如下形式的奇摄动边值问题[1]：

文献[1]利用微分不等式理论研究问题(1)，(2)，得到解的如下估计：

其中y=|x|是退化解，c>0 是某个正常数。在燃烧理论中，退化解作为Burke-Schumann 近似，未能揭示火焰在x=0处的厚度及相关性质。

本文考虑利用匹配渐近展开法[2-8]处理奇摄动问题，该方法需要涉及内展开式与外展开式之间的匹配，是一项复杂的技术性的工作。

2 主要结果

为了构造出在x=0 处具有内层性质的校正项，分以下4步进行。

2.1 构造外展开式的第一项

设问题(1)，(2)的外展开式具有形式

将(4)代入(1)，比较方程两边ε的零次幂系数得到：

方程(5)满足边界条件

y(‐1)=1和y(1)=1的解分别为

因此可取

作为外部解的零次近似。由于y0(x)在x=0处连续但不可微，故在x=0 处出现了角层现象，如图1所示。

图1

2.2 构造內展开式的第一项

引入伸展变换ξ=(λ>0)来放大角层，寻求在x=0 附近的内展开式，并用yi表示相应的内部解，代入(1)，就有

式中C为积分常数，解出Y0即得內展开式的第一项。

2.3 内、外展开式的匹配

由(6)式可知，在x=0处

应用Prandtl匹配原则[7]，分别有

在(9)式两边令ξ→∞可得C=0。

进一步由(6)式及内角层的性质推知，当ξ<0时，Y0>0，′>0；当ξ>0 时，Y0>0，<0。于是

若给定初值Y0(0)=a(a>0)，则在(‐∞,0]和[0,+∞)上分别解相应的初值问题，就有

2.4 形成复合展开式

将外展式与内展开式相加并减去其公共部分(公共部分为零)，得到