夏 鹏，李 旭

1.江苏联合职业技术学院无锡旅游商贸分院，江苏无锡,214045;

2.浙江理工大学科技与艺术学院，浙江绍兴,312369

通过数学模型研究生态系统各种复杂的现象一直是热门的研究课题[1-2]。为了更好优化整合生态资源，Liu[3]在2009年建立了如下的生态数学模型：

(1)

其中，模型(1)中(x,t)∈Ω×R+，对于(x,t)∈∂Ω×R+边界条件为：

(2)

初始条件为：

(3)

1 理论分析

本节主要讨论扩散速率、死亡率、转化率和趋化系数对稳态下微生物种群分布会产生怎样的影响。因为处理好各参数与微生物种群之间的关系，可以更好地帮助我们从理论依据上去保护生态系统。在数学上，我们建立当k=2时，系统(1)—(3)定态解存在性和稳定性条件。在一维条件下，即Ω=(0,l)，其中l为正实数，那么系统重新写作下列模型：

(4)

边界条件和初始条件分别写为：

(5)

且N0(x)>0,w10(x)>0,w20(x)>0。

(6)

在一维区间[0,l]上带有诺依曼边界条件的负拉普拉斯算子特征值问题[6]：

那么上述线性系统(6)中Λm等价写成下列矩阵形式：

(7)

(8)

因此，由特征值稳定性理论分析[7]，我们有下面结果：

命题1因为线性系统t=Λ0有主特征值λ0=1-d0μ0=1，那么定态解E0总是不稳定的，即系统(4)至(5)是持久的。

命题2如果γ1

命题3如果γ1>b1，那么线性系统t=Λ1有一个特征值λ0=γ1-b1>0，因此，特征值E1是不稳定的。那么系统(4)至(5)食物链长度大于1，即p≥2。

2 数值研究

本节我们将通过MATLAB中PDE工具包来数值仿真研究系统参数如何影响系统(4)至(5)种群存在性[8]，其中边界条件为(5)式，初始条件取

w10(x)=w20(x)=5

(9)

事实上，只要初始条件满足(5)式中条件，有相同的结果。故可以得到下列结论。

结论1当死亡率bi和转化率γi固定，即使改变扩散系数和所有趋化参数值，具有边界条件(5)和初始条件(9)的系统(4)也会进入相同的定态，这表明扩散和趋化性不会影响所考虑系统的定态，这与理论结果相符。因此令d0……