安劭侠，简晓辉，马 利，霍军周

(1.大连理工大学机械工程学院,辽宁 大连 116024;2.中国水利水电第八工程局有限公司工程设备公司，长沙 410004;3.中铁隧道股份有限公司，新疆 阿勒泰 836100)

0 引言

活动弯头是一种可灵活改变空间角度的管线接头，实现高压管汇360°旋转以及局限空间管汇的连接，是非常规油气开采行业的重要配件，广泛应用于压裂、酸化、固井等场合。活动弯头由公母弯头体、滚珠、由壬和密封件等组成，在高压流体、高速运动固相粒子的冲刷、流体腐蚀等恶劣工况下进行工作。在极端的服役条件下，常常由于活动弯头的硬度和耐磨性较差，致使弯头内壁由于冲蚀磨损严重而被刺穿和滚道槽在挤压作用下发生变形而导致弯头转动受阻。据统计活动弯头失效事件占到总高压管汇失效事件的25%，大大增加了工程成本[1]。针对活动弯头的失效形式，对活动弯头进行受力分析，并据此优化活动弯头的结构，能够有效减少活动弯头关键承压部件发生失效问题的可能性。

国内外有关活动弯头的研究主要侧重于流体对活动弯头冲蚀磨损研究。文献[2]研究了高压管汇在受载下的应力分布规律，并应用低周疲劳理论对高压管汇的直管、弯头进行疲劳断裂分析，为高压管汇的损伤容限设计提供理论借鉴。文献[3]探究了颗粒数量对弯头的腐蚀-磨损作用，结果表明当颗粒数量増加时，弯头的腐蚀反而减小，为延长弯头寿命提供方法。文献[4]分析了活动弯头在不同压裂工况下的冲蚀磨损机理，提出对弯头进行不等径截面设计来弥补外壁磨损量，为弯头结构设计提供了依据。文献[5]研究了双弯头装配转角对双弯头弯管冲蚀速率的影响，得到当转角为20°～40°时，双弯头弯管的最大冲蚀速率较大，可为改进弯头装配参数提供了技术依据。文献[6]设计出型号为FLUMAG 500的漏磁在线检测工具，用于检测石油管道磨损处的位置和尺寸大小，具有重大的实际工程价值。文献[7]分析了活动弯头的损伤机理，提出在高频流体振动载荷作用下，活动弯头首先出现管壁局部韧性断裂，靠近外壁时出现脆性断裂，为弯头的损伤分析奠定了一定的理论支持。文献[8]借助Fluen仿真软件研究了活动弯头冲蚀磨损问题，推断出流速对弯头迂回处的冲蚀磨损效果显著。文献[9]针对活动弯头的安装角度、流体进口速度等因素进行数值模拟，探究流体对10型活动弯头的冲蚀规律。此外，国内部分学者提出通过改进活动弯头的热处理工艺来提高活动弯头的综合力学性能。文献[10]通过对活动弯头进行高频淬火的热处理工艺来提高滚道表面的硬度和耐磨性，并对滚道槽进行磨削加工处理，提高加工精度。文献[11]对活动弯头采用渗碳+等温淬火+回火的热处理工艺，获得下贝氏体+马氏体的混合组织，提高材料的断裂韧度,延长了冲蚀磨损寿命。

综合以上分析，国内外学者主要集中于活动弯头的冲蚀磨损问题及相应的解决措施，为服役环境中活动弯头的损伤设计、结构优化与运行维护等提供一定的理论借鉴。然而针对活动弯头接头处的接触特性的研究较少，而实际服役过程中，活动弯头经常由于接触区域的接触应力过大而出现压痕导致弯头转动卡顿，严重影响着工程进度。本文针对活动弯头滚道槽出现的压痕损伤形式，分析接头处的接触应力和塑性变形的分布规律，探究滚道槽的相对位置对接触特性的影响机理，为活动弯头的结构设计提供技术支撑。

1 接触问题的有限元算法

接触问题是一种典型的边界非线性问题，目前求解接触问题的方法主要有解析解法和数值解法[12]。其中，解析解法是基于接触理论对模型进行精确求解，但由于理论中作了一定的假设，限制了其应用范围。而针对复杂接触问题的求解，以有限元法形式的数值解法应用最为广泛，实用性最强。有限元法采用最小位能原理并引入约束条件，在接触面间建立了接触约束算法。接触约束算法中的系统总位能的泛函Π(π)为[13]：

Π(π)=ΠU+Πcp

(1)

式中，ΠU为不包含接触约束条件的系统总位能，Πcp为接触约束条件引入的附加泛函。

当泛函取驻值时便得到接触问题的解，根据驻值解法的不同，接触约束算法主要分为罚函数法、拉格朗日乘子法和增广拉格朗日乘子法。

1.1 罚函数法

罚函数法是在接触面之间用“弹簧”建立接触协调关系。当接触面分开时，弹簧不影响物体的自由活动；当接触面发生穿透时，弹簧阻碍接触物体的相互嵌入。罚函数法下的附加泛函表述为：

(2)

式中，α为罚因子；U为位移矩阵；B为接触约束矩阵；SC为接触面边界，S是接触面面积；γ是接触面的法向力或切向力。

以位移U为未知量，得到最终的系统控制方程为：

(K+αBTB)U=F+αBTγ

(3)

式中，[K]是整体刚度矩阵。

由上式可知，罚函数法的优点是不增加系统的求解规模，但引入了人为假设的罚因子来减少接触物体的穿透现象。因此，为与实际接触情况更接近，就必须增加罚因子以尽可能减少穿透量。然而，罚因子过大会导致整体刚度矩阵的病态，带来求解方程上的困难。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法通过引入了力学意义为接触力的拉格朗日乘子，可直接求出接触力，实现了无穿透的真实接触条件。拉格朗日乘子法下的附加泛函为：

(4)

式中，Λ是拉格朗日乘子。

相应的系统控制方程为：

(5)

虽然拉格朗日乘子法可以精确满足接触条件，但由于其在计算中增加了额外的自由度，扩大了刚度阵的阶数，且失去系数矩阵的正定性，增加了收敛难度。

1.3 增广拉格朗日乘子法

增广拉格朗日乘子法结合了罚函数法和拉格朗日乘子法，在计算中为找到精确的拉格朗日乘子而对罚因子反复修改并迭代求解，直到穿透值小于允许值为止。增广拉格朗日法下的附加泛函为：

(6)

相应的控制方程为：

(7)

增广拉格朗日乘子法吸收了罚函数法的优点，相比拉格朗日乘子法增加了系数矩阵的对角优势，加快收敛速度。因此，增广拉格朗日乘子法成为目前较为流行的方法。

综上所述，考虑到活动弯头在服役中，滚道槽往往受挤压而发生塑性变形，且接触面尺寸与接触面的曲率半径相近，不满足经典Hertz理论的假设条件，因此本文采用有限元法中的增广拉格朗日乘子法来分析活动弯头接头处的接触特性。

2 有限元接触分析

本文选取某厂型号为3″-50型/105MPa的活动弯头作为研究对象，该型号的活动弯头内径为76.2 mm，外径为140.00 mm，弯头接头处有三列直径相等的滚珠，每列滚珠数目为35。第一列和第二列滚道槽位于同一平面，第三列滚道槽与前两列增设了一高为1 mm的台阶，如图1所示。由于倒角对接头处的接触分析影响不大，在几何建模时去除，考虑到活动弯头接头处结构及受载的对称性等特点，建立接头处的1/35作为分析模型。活动弯头的材料属性如表1所示。

1.母弯头 2.盘根 3.O型密封圈 4.第一列滚珠5.第二列滚珠 6.第三列滚珠 7.防尘密封圈 8.公弯头图1 活动弯头结构简图

表1 活动弯头的材料属性

2.1 网格划分

由于接触区域的网格大小对接触应力的仿真结果有重要影响，本文对几何模型进行切割处理，分离出接触区域和非接触区域。设置全局网格尺寸为2 mm，对接触区域采取多区域法划分网格，网格尺寸为0.2 mm，最终得到有限元网格模型，如图2所示，其中节点数为2 860 760，单元数为934 187，网格收敛性分析良好，满足计算要求。

(a) 整体网格划分 (b) 滚珠和公弯头接触区域网格细化图2 活动弯头接头处有限元模型

2.2 边界条件与载荷施加

根据活动弯头的实际工况，对有限元网格模型施加边界条件，如表2所示。

表2 有限元模型边界条件设置

接头处在服役期间受到内压和流体在弯头处产生的轴向拉力，对公母弯头的内壁面D处施加内压105 MPa，将轴向拉力均匀施加于母弯头的左端面E处，其大小P通过下式计算：

(8)

式中，P1为内压，单位为MPa，取值105 MPa；s1为内壁的横截面面积，单位为mm2；s2为壁厚的横截面面积，单位为mm2；经计算得到P为84.8 MPa。

施加载荷后的模型如图3所示。

图3 边界条件和载荷施加图

2.3 接触对的建立及参数选取

本文选用增广拉格朗日乘子算法对滚珠和公母弯头的滚道槽分别建立接触对，摩擦系数设置为0.1，滚珠表面设置为接触面，滚道槽设置为目标面。由于接触刚度因子FKN对计算结果影响很大，本文在其他条件不变的情况下，分别设置FKN从0.1取到7，且设置每一步迭代步中更新接触刚度，计算相应的最大等效应力，最大接触应力、最大穿透量、迭代次数，结果如图4和图5所示。

图4 最大等效应力和最大接触应力与FKN关系图

图5 最大穿透量和迭代次数与FKN关系图

由图4和图5可知，随着接触刚度因子FKN的增加，活动弯头的最大等效应力、最大接触应力也随着增加，而最大穿透量随之减少，但迭代次数和运算时间也随之增加。当FKN取值在3～7范围区间内，各项值的变化已经不明显，综合考虑求解效率，确定最优的FKN取值为3，此时的接触应力为2089 MPa，穿透量为0.000 342 mm，远远小于接触单元的厚度0.2 mm，满足接触问题的穿透误差要求。

2.4 仿真结果

对上述受载条件下的有限元模型进行求解，得到活动弯头整体和接触区域的等效应力如图6所示。可观察到三列滚珠与滚道槽的接触区域的等效应力分布均近似呈椭圆形状，与接触理论中假设的接触载荷分布非常相似。公母弯头的最大等效应力值均在第一列滚道槽的接触区域，最大值分别为1 179.6 MPa、1 135.5 MPa，均超过屈服应力值，进入了塑性变形阶段。并且高应力区域都在接触区域，而非接触区域的等效应力均低于屈服应力值，由此说明滚道槽的压痕主要与接触载荷过大有关。

(a)整体等效应力云图

(b)第一列滚珠接触区域等效应力云图

(c)第二列滚珠接触区域等效应力云图

(d)第三列滚珠接触区域等效应力云图图6 活动弯头的等效应力云图

公母弯头滚道槽接触区域的接触应力云图如图7所示，公母滚道槽的最大接触应力都在第一列滚道槽，最大值分别为2089 MPa、1954 MPa，与文献[14]中公弯头的计算结果2200 MPa相比，相对误差为5%，进一步验证了仿真的合理性和结果的正确性。在三列公弯头滚道槽的接触区域中沿接触带每隔1 mm分别测出接触应力如图8所示。由图8可知，三列滚道槽的接触应力呈现分配不匀的现象，第一列滚道槽的接触应力最大，而第二列最小，两者相差最大值为383 MPa，这是由于第一列和第二列滚道槽是同一水平面，而第一列滚道槽承受大部分的轴向载荷所导致。

(a)母弯头滚道槽接触应力云图

(b)公弯头滚道槽接触应力云图图7 活动弯头接头处的接触应力云图

图8 公弯头滚道槽的接触应力曲线图

公母弯头滚道槽接触区域的的塑性变形如图9所示。由图可知，公母弯头的三列滚道槽均发生了不同程度的塑性变形，变形值和变形范围最大的地方均在第一列滚珠槽上，最大值为0.018 24 mm，第二列滚道槽的变形值和变形程度最小。由于公弯头滚道槽的接触应力要比母弯头的大，导致公弯头整体的塑性变形程度要大于母弯头。上述仿真结果与实际情况中第一列滚道槽最先出现压痕并且压痕最深的现象相符合，这些压痕容易造成活动弯头转动卡顿的现象。

(a) 母弯头的塑性应变云图

(b)公弯头的塑性应变云图 图9 活动弯头接头处等效塑性应变云图

3 活动弯头结构优化

由上述仿真结果可知，活动弯头的三列滚道槽存在接触应力过大且分布不匀的现象，故对于现有的活动弯头进行优化设计，主要有：①在各滚道槽设台阶，构成阶梯形来改善受力状况；②增加了活动弯头的壁厚，避免因台阶的设立而减少壁厚；③滚道槽做倒圆角处理，避免应力集中现象，优化示意图如图10所示。

图10 活动弯头接头处结构优化示意图

考虑到三列滚道槽的相对位置直接影响到其接触应力的分布，故分别改变滚道槽的轴向和径向位置来寻求合适的滚道槽位置。本文以三列滚道槽轴向距离均为22 mm，径向距离均为1 mm的三台阶活动弯头为基准，分五组改变其轴向或径向距离进行接触分析，并与二台阶活动弯头的仿真结果进行对比，结果如表3所示。

表3 滚道槽相对位置变化的接触分析结果

由上表可知，滚道槽轴向和径向距离的变化都会影响其接触应力的分布，轴向和径向距离越大，接触应力和塑性变形越小，反之亦然。由于台阶的设立更有利于三列滚道槽分担轴向载荷，改善了受力状况，故改变径向距离的效果要优于轴向距离的效果。上表中接触应力和塑性变形最小的是轴向距离为22 mm，径向距离为3 mm的结构，相比二台阶的接触应力减少了14.8%，表明了此时的三台阶的设计是相对更好的结构，沿接触带每隔1 mm测出其三列滚道槽的接触应力，并与二台阶活动弯头的接触应力相比较，如图11所示。

图11 优化后的滚道槽的接触应力曲线图

由上图可知，此时的三台阶结构相比二台阶结构而言，三列滚道槽的接触应力均有不同程度的下降，其中第一列下降效果最明显，降幅达310 MPa。此外滚道槽的接触应力分布趋于均匀，每列的最大接触应力最大相差230 MPa，相比二台阶的降低了40%，且高应力的接触区域接触应力变化平稳，有利于延长第一列滚道槽的服役寿命，从而降低了使用成本。

4 结论

本文针对活动弯头滚道槽的压痕损伤形式，采用有限元法对活动弯头的接头处进行接触特性的仿真分析，分析了接触载荷和塑性变形的分布规律，并进一步进行了相应的结构优化。通过本文的研究主要得到以下结论：

(1)接触刚度系数FKN在有限元接触分析中对分析结果有很大影响。FKN的增大会使等效应力和接触应力呈现先增加较大后趋于平缓直至收敛到某一个值，而穿透量呈现先大幅减小后收敛到某一个值。虽然较大的FKN提高了结果准确性，但却带来收敛困难、求解耗时的问题。因此，在接触参数设置时要对其进行合理的选取，在保证结果正确性的前提下提高求解效率。

(2)二台阶活动弯头接触区域的应力分布呈椭圆形，由于第一列滚道槽承受了较大的轴向载荷，造成了三列滚道槽接触应力的分布不匀，导致第一列滚道槽的接触应力和塑性变最大，而第二列最小，符合弯头服役中第一列滚道槽过早出现压痕的损伤现象。

(3)三台阶活动弯头相比于二台阶结构减少了接触应力，且轴向和径向距离的增大均有利于减少滚道槽的接触应力和应力差。当滚道槽的轴向距离为22 mm，径向为3 mm时的接触应力较二台阶的减少310 MPa，每列的最大接触应力最大差值相比二台阶降低了40%，且高应力的接触区域接触应力变化平稳，够为活动弯头的优化提供依据。