吴玉敏, 李福坤

(1.山东石油化工学院 基础科学学院,山东 东营 257061;2.山东石油化工学院 机械与控制工程学院,山东 东营 257061)

众所周知,避难所对捕食-食饵系统的动力学行为有着重要的影响,近年来许多学者在这一课题上展开研究(文献[1—11]),其中有关自治系统的平衡点的存在性与局部稳定性,极限环的存在性、唯一性和稳定性,Hopf分支产生的可能性等,已经有很好的成果.众所周知,自然界中生物的生存环境都是随着时间变化而不断变化的,现实生存环境中定常系统基本不存在,因此非自治生态系统显得更为合理.早在1997年,有关非自治具有避难所的捕食-食饵种群的动力学行为就有学者提出并加以研究[9],然而这方面的研究进展并不如自治模型的研究来得深入.文献[8—9]均是以经典的Lotka-Volterra捕食食饵模型为基础提出的模型,我们知道,Lotka-Volterra模型由于其线性化假设,一直受到学者们的诟病,文献[1—5]开始考虑捕食者的功能性反应对具有避难所的捕食-食饵系统的动力学行为的影响,他们分别研究了具有Holling Ⅱ、Holling Ⅲ类功能性反应和B-D功能性反应的捕食-食饵系统的动力学行为.在假设系统(1)的各项系数均为正常数下,Ma等提出了自治具有避难所和Rosenzweig功能性反应的两种群捕食者-食饵系统,探讨了系统正平衡点的存在性和稳定性,极限环的存在性等问题[10].本文将在文献[10]的基础上进一步考虑如下非自治具有避难所和Rosenzweig功能性反应的两种群捕食者-食饵系统:

(1)

为了下文叙述方便,对f∈C(R,R)且为ω周期连续函数引进记号:

1 预备知识

为了证明周期解的存在性,我们引入重合度理论中的延拓定理[11].

(ⅰ)对任意的λ∈(0,1),方程Lx=λNx的解满足x∉∂Ω∩DomL;

(ⅱ)对任意的x∈∂Ω∩KerL,QNx≠0而且

deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0,

N1(t)=

N2(t)=

引理证毕.

2 主要结果及其证明

证明做变换Ni(t)=exp{xi(t)},i=1,2,则系统变为

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))exp(x2(t)),

(2)

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))

exp(x2(t))e(t)(1-β(t))αexpα(x1(t))-

则有

KerL={x∈X:x=h∈R2},

对应于算子方程Lx=λNx,λ∈(0,1)有

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))exp(x2(t))],

(3)

设x=x(t)∈X是系统(3)的对应于某个λ∈(0,1)的解,将(3)式两端同时从0到ω积分得

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))exp(x2(t))}dt=0,

即

(4)

(5)

由(4)～(5)式可得

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))exp(x2(t))|dt≤

c(t)(1-β(t))αexpα-1(x1(t))exp(x2(t))|dt≤

(6)

(7)

由(5)式和积分中值定理知,存在τ∈[0,ω],使得

从而

|x1(τ)|≤

(8)

从而由(6)式和(8)式可得

(9)

进一步由(4)式和(9)式利用中值定理可知,存在η∈[0,ω],使得

(10)

(11)

由此可知

|x2(η)|≤

(12)

从而由(7)式和(12)式可得

(13)

显然Hi(i=1,2)的选取与λ的选取无关.令f(t)=c(t)(1-β(t))α,h(t)=e(t)(1-β(t))α,由定理条件知代数方程组

(14)

令H=H1+H2+H3,其中H3>0充分大,使