【摘要】本文以人教版“鸡兔同笼”问题教学为例，从三个层面沟通联系，帮助学生提升思维能力，即沟通列表与假设的联系，先假设全是鸡或者全是兔，再比较调换;沟通画图与假设的联系，借助直观的图示解释抽象算式的算理;沟通三种方法之间的内在联系，揭示其本质上都是“假设—比较—调换”的思维方式，突出假设思想。

【关键词】鸡兔同笼 沟通联系 假设思想

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）29-0078-04

“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》，是我国民间广为流传的数学趣题，长期以来被用作学生思维训练的经典教学内容。课堂上，学生能仿照例题有序地分析，面对问题也能对答如流，但在解决问题时依然出现两点尴尬。尴尬一：依靠记忆和模仿。比如假设是鸡（兔），学生知道求出来的分别是兔（鸡），只知套用算法而不知其因，不能迁移解决生活中的类似问题。尴尬二：知识理解缺乏深度。如学生没有真正理解画图法、列表法、假设法三种方法的内在联系，知识呈碎片状。面对这些尴尬，笔者不禁深思：问题究竟出在哪里？以下，笔者试图从教材比较分析、学生认知分析两个纬度出发，从问题解决教学的角度，对人教版“鸡兔同笼”问题教学进行系统的梳理与思考。

一、构思：“鸡兔同笼”教材比较的启示

教材是实现课标的显性载体，不仅承载了输送基本知识和技能的任务，而且包含了一定的数学思想与方法。笔者尝试从不同版本教材“鸡兔同笼”问题的比较中，分析教材编排背后隐藏的理念与思考，以期为改进“鸡兔同笼”问题的教学预设提供理论支撑。

（一）多版本教材对比解读

多版本研读“鸡兔同笼”问题的编排，主要有以下两方面的变化。

1.教学内容的编排顺序存在明显差异

从教材编排的顺序看，《鸡兔同笼》这一教学内容被安排在不同的年级中（如表1）。从表1中可以看出，“鸡兔同笼”内容所涉及的教学对象中，年级最低的是二年级学生，最高的是六年级学生，年级跨度较大。

2.例题所渗透的解决方法呈现多样性

各版本教材“鸡兔同笼”例题中所渗透的解决方法呈现多样性。从表1可以看出，由于教材编写的年级不同，学生认知特点不同，不同版本教材例题所要渗透的解决方法并不完全一致，呈现出多样性的特点。

（二）教材变与不变的启示

1.教材编排求“同”存“异”

结合教材及比较表1，主要可以发现以下一些特点：

（1）思想一致。各版本教材基本都包括了“猜想—比较—推理—调整”的过程，采用“由简单到一般，具体到抽象”的思维模型。

（2）策略聚焦。“列表法”是各版本教材都采用的解決方法。

（3）方法互通。不同版本教材例题所要渗透的解决方法呈现多样性，但各种方法之间互通，在教学中应将“画图法与列表法”“列表法与假设法”等有机结合。

2.求“同”存“异”探教法

比较6种不同版本的教材可知：“鸡兔同笼”这道古题适用于小学阶段的各个年级，但由于各版教材的教学定位不同，解决问题的方法也不尽相同。由此引起笔者思考：学生的思维起点在哪里？如何确定某一种数学思想为教学的核心思想？怎样让“鸡兔同笼”问题应用于生活实际，构建问题模型思想呢？

基于上述分析与思考，笔者设计如下实施路径：以列表法为平台，让学生充分经历猜测、比较的思维过程，感受规律;依照规律，小组合作探究假设法;结合画图进一步帮助学生直观理解数量变化规律及调整办法;沟通三种方法的内在联系，建立问题模型。（如图1，见下页）

二、实践：“鸡兔同笼”课堂实践的变革

“鸡兔同笼”问题不仅存在知识的内在联系，还存在着一定的知识“序列”，这种“序列”既有知识的逻辑之序，也有学生认知的发展之序。依循学生的认知之“序”，笔者设计如下实施路径。

（一）猜想——感悟化归思想

一个“适当的问题”能引领学生深入地思考。教材中编排了“鸡兔同笼”这个经典的数学问题，不仅让学生感受我国数学文化源远流长，而且理解了“化繁为简”的思想。

1.学习古题，感受数学文化

【教学片段1】

教师用多媒体演绎主题图（如图2），学生模仿图中孩子冥思苦想的画面，有感情地朗读：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？”学生品读文言文中“雉”“足”“几何”所蕴含的现代文意译，还有每只兔、每只鸡“脚数”的生活常识等。

教学运用多媒体演绎主题图中的生动情境，引导学生模仿画面有感情地朗读，感受这段文言文的内在含义、文言文之美，激发学生解决问题的兴趣。

2.经历猜想，体会化繁为简

“鸡兔同笼”原题的数据较大，对学生经历猜测、验证的过程提出了挑战，经过几次简单的猜测和数据调整，学生发现仍然不能得到正确的结果，体会从简单问题入手的必要性，初步感受“化繁为简”的思想。

【教学片段2】

（前面学生已经理解了古题的意思，并获取相关信息：鸡和兔一共有35只，它们的脚一共有94只。）

师：这个问题你能解决吗？你准备怎样解决？

生1（小声）：猜一猜吧！

师：“猜一猜”也是一种方法。

生2：它们一共有35只。

生3：如果一共有94只脚，这样就猜对了。

师：古人说，天下难事始于易。我们不妨从简单的数据入手，寻找解决问题的方法。

教师顺势出示例1：

课件呈现：笼子里有若干只鸡和兔，从上面看有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各有几只？

根据学生的认知特点，降低难度，把原题改为学生更容易理解的问题，逐步培养学生的推理能力，让学生从简单的问题开始经历猜测结果、尝试调整得到正确结论的过程，逐步掌握“化繁为简”的方法。现以示例1为例进行讲解。

（二）列举——促进逻辑思维

经过初期猜想与调整，引发学生思考“怎样让猜想更有序”，找到逐一列举的方法，跳跃列举或取中列举，直到头和脚的总数符合题目信息，让学生学会有序思考，培养思维的严密性和逻辑性。

1.借助列表，学会有序思考

学生从最初的随机猜测中，对头数与脚数的对应变化有了一些感悟，但因猜测的无序性容易重复或遗漏，从而顺势推出列表法，让猜测从“无序”走向“有序”。

【教学片段3】

师：刚才同学们有各种猜法，听起来比较混乱，也不知道是否重复和遗漏。该怎么猜呢？你们可以和同桌合作，把想法有序地填在下表中吗？（学生合作完成表格2，汇报。）

生1：我们从“一共有8只鸡”开始猜起，当有8只鸡时，兔有0只，脚有16只。接下来鸡变成7只，兔有1只，合起来是8只，腿有18只，依次是……

师：观察这张表格，你们还有什么问题吗？

师（小结）：要有序地思考，就要把每一种情况都考虑到，虽然这种情况不太可能出现，但不能否定其存在的可能，像这样把每一种情况都有序地列举出来的方法，就叫列举法。

2.探寻规律，铺就假设推理

运用有序列表的方法，可让学生经历逐一调整数据变化的过程，掌握列表法的规律，为后面的探究假设法做好铺垫。

【教学片段4】

师：再次观察这张表格，有没有新的发现？

生1：我发现鸡减少1只，兔子就增加1只，脚的只数会增加2只。

师：为什么每次脚的只数会增加2只呢？

生2：鸡减少1只，少了2只脚，兔多了1只，多了4只脚，这样总数就增加了2只脚。

生3：1只兔换成1只鸡，脚就减少2只。

师：如果鸡和兔脚的总只数比26少，那就要让脚的只数多一些，并不断地调整。

生4：把里面的鸡换成兔。

生5：如果鸡和兔脚的总只数比26多，要让脚的只数少一些，可以把里面的兔换成鸡。

生6：还可以全部猜成鸡，然后根据规律把鸡和兔换一换，让脚的只数达到26只就可以了。

列表法让学生不断尝试列举各种情况，累积猜测和推理的经验，体会有序思考的数学思想，发现列表法的规律，为后面的探究假设法学习奠定基础。

（三）假设——提升推理能力

假设法是解决“鸡兔同笼”问题的一般方法，更具有思维的逻辑性和推理性，解题过程需要经历“假设—比较—推理—调整”的过程。

1.合作学习，打开思路

虽然学生有了列表法猜测和推理的经验，基于四年级学生逻辑思维连贯性的不足，可以通过小组合作和“小锦囊”提示，帮助学生打开思路。

【教学片段5】

师：根据刚才发现的规律，请同学们每四人小组合作猜测其中一种情况，然后调整脚的只数，再来解决这道题。当你们遇到困难时，可以借助“小锦囊”的提示哦！

[小锦囊：

1.你猜测的是怎样一种情况，脚共有多少只？

2.脚的总数和要求比起来多了还是少了？

3.你准备怎样调整？需要调整几次？

4.調整后，鸡、兔各有几只？

5.能列出算式吗？ ]

2.经历“假设”，培养推理能力

学生充分经历“假设—比较—推理—调整”的解答过程，不断完善思路，能够培养逻辑推理能力。

【教学片段6】

生1：我们这组猜测有4只鸡、4只兔，一共有24只脚。跟26只脚比起来少了2只脚，就把其中一只鸡换成兔，多了2只脚，刚好26只脚。这样鸡有3只，兔有5只。

师：能列出算式吗？

生2：4×2+4×4=24（只），26-24=2（只），4-1=3（只），4+1=5（只）。

师：大家还有其他的方法吗？

生3：我们假设全是鸡。

假设全是鸡：2×8=16（只） 26-16=10（只） 4-2=2（只）

兔的只数：10÷2=5（只）（差的10只脚要换5次，也就是放进5只兔）

鸡的只数：8-5=3（只）

生4：我们假设全是兔……

教师提供“小锦囊”帮助小组合作分析，学生遵循规律充分经历尝试、分析、再尝试的探索历程，逐步掌握假设法。这不仅体现了新课标要求合作学习、互动交流、将课堂交给学生的理念，还揭示了列表法与假设法之间的内在联系。

（四）求联——突出假设推理

从列表法的规律探索到假设法的推理，揭示了列表法与假设法之间的内在联系，学生借助画图直观地理解“假设—比较—推理—调换”的思维过程，从假设的角度把三种方法融会贯通。

1.数形结合，直观理解推理

实践证明，数形结合能让学生的思考更为直观，启发学生用画图直观地理解假设法的推理、调换过程，让抽象算理更加形象、更易于理解。

【教学片段7】

师：谁能用画图法解决问题？

生1（边画边讲）：先画出8只鸡，每只鸡有2只脚，一共16只脚，可实际上有26只脚，少了10只。接着就可以把鸡换成兔，换一只兔就添上2只脚，10只脚就需要换成5只兔。（如图3）

师：你刚才画图时，为什么先画出8只鸡呢？

生1：我也是假设全是鸡。

师：可见，画图法和假设法尽管方法不同，但是道理是相通的。

2.反思求联，聚焦假设方法

引导学生“比较”和“反思”列举、假设、画图三种方法的“同与不同”，追溯每种方法的思考起点，沟通内在联系，揭示其本质都是“假设—比较—调换”的思维方式。

【教学片段8】

师：同学们用列表、画图、假设三种方法解决了问题。那么，这三种方法之间有没有区别与联系呢？

生1：列举法是从8只鸡和0只兔开始列举;假设法是从假设全是鸡开始计算;画图法是从8只全是鸡开始画。

生2：我认为列举法和画图法也都是先假设的。

师：其实画图、列表、假设这三种方法本质上是一致的，都是假设法的不同体现，都要经历“假设—比较—调换”这样一种循环往复的思维过程。

沟通三种方法的内在联系，其实质都是“假设—比较—调换”循环往复的思维过程。由此，引导学生把看似不相同的方法化归为一般方法，通过对比、梳理，让数学知识从“厚”到“薄”，更具系统性。

（五）迁移——建构模型思想

“鸡兔同笼”问题突出的思想就是假设推理，本质上是“假设—比较—调换”的思维方式。教师可以将学生初步感悟的“鸡兔同笼”问题数学模型，演绎到各种生活情境中，在解决新问题时实现自主迁移，进一步促进模型思维内化。

1.模型演绎，解决具体问题

【教学片段9】

（1）解决古算题，重点追问“假设全是鸡，为什么先求出的是兔的只数”和“假设全是兔，为什么先求出的是鸡的只数”。

（2）“龟鹤算”问题。

师：“龟鹤”问题跟“鸡兔”问题有联系吗？“龟鹤算”问题是从“鸡兔同笼”问题演变来的。其实“鸡兔同笼”只是这类问题的一个统称，生活中有许多这类“鸡兔同笼”的问题，也能用上今天学习的方法去解决。请看下面的问题：

①三轮车和自行车共10辆，共有23个轮子。三轮车和自行车分别有多少辆？

②光明小学“红领巾”小分队12人参加植树活动，共栽了32棵树。男生每人栽3棵树，女生每人栽2棵树，男、女生各有几人？

从“鸡兔同笼”中感悟的问题模型，演绎到具体的实际问题情境中，进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质。

2.内化模型，建立数学思想

教师引导学生将“鸡兔同笼”问题模型，迁移到解决各种具体实际问题中，引领学生思维不断走向深入。在解决问题的过程中，学生的思维进一步发展，逐步从问题解决走向思维建构。

三、追寻：“鸡兔同笼”教学引发的思考

“鸡兔同笼”问题的教学实践与思考，序列建构合理、方法各有侧重，有助于提升学生的数学思维能力。

（一）沟通联系，思维融通，促进知识建构

针对学生知识内容碎片化，沟通画图、列表、假设三种方法的内在联系，从方法多样走向方法互通，引导学生建立融通的认知结构。

1.学习内容：从“孤立碎片”走向“联系整合”

对知识的学习是从点状开始，当学生完成一部分知识点的学习之后，教师就要引导他们用联系整合的观点建构知识。用画图、列表、假设三种不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，其方法样态和方式有所不同，知识呈碎片状。但假设法只是列表法中的特殊情况，假设全是鸡或全是兔;画图法则是用直观的方式呈现列表法、假设法的思考过程。对此，教师可以通过对知识梳理整合、建立联系与融通，使教学从孤立碎片走向联系整合，完善学生的认知结构。

2.知识结构：从“要素沟通”走向“模型建构”

将“联系”的观点贯穿教学全过程，可以将各知识要素联结起来，在联系建构中建立起数学模型。通过沟通画图、列表、假设三种方法的内在联系，感悟初步的问题模型;从初步感悟的数学模型演绎，再到具体的各种生活情境中解决实际问题，实现知识的自主迁移，从而由要素沟通过渡到模型构建。

（二）突出思维，问题解决，促进思维建构

针对学生不能迁移解决生活中类似“鸡兔同笼”的问题，教师可以将问题模型演绎到各种生活现象和问题情境中，借助解决生活中的实际问题强化模型思维，促进思维建构。

1.情境迁移：从“举一反三”走向“举三反一”

“举三反一”是指问题解决后的理解、感悟、抽象、概括，形成某一种数学思想方法。“一”是指习得问题解决的一种方法，“三”用习得的方法迁移到相似情境中解决一类问题。從鸡兔同笼中习得的基本假设，用推理方法解决生活中各种“鸡兔同笼”的问题，实现知识迁移。学生在解决各种问题的过程中完善方法，强化基本的问题模型。

2.认知体验：从“问题解决”走向“思维建构”

教学实践证明，学生经过一段时间之后会将知识遗忘，但运用学习到的思想方法，对解决具体实际问题和提升思维品质，具有重要的现实意义;同时通过解决生活中“鸡兔同笼”这一类问题，在解决生活实际问题中内化基本的数学模型，从而逐步从解决问题走向思维建构。

总之，数学教学从教材比较分析、学生认知分析两个纬度出发，从问题解决教学模式的角度，对人教版“鸡兔同笼”问题做了系统的梳理与思考，优化教学设计，发挥教育价值。

【参考文献】

[1]王宏伟.顺应学生思维特征的学习方式选择[J].教学月刊·小学数学，2017（9）.

[2]牛献礼.沟通联系 突出思想[J].小学教学研究，2018（3）.

[3]郜舒竹.学生解决鸡兔同笼问题的协变思维[J].教学月刊·小学数学，2019（9）.

【作者简介】张燕萍（1970— ），浙江杭州人，大学本科学历，一级教师，现就职于浙江省杭州市余杭区实验小学，研究方向为小学数学教学。

（责编 杨 春）