毛安民

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引 言

在我国的高等教育课程体系中，数学专业课程《数学分析》是一门非常重要的专业基础课和入门课程; 对连续函数的性质的教学研究一直是个很重要的研究课题，究其原因在于该类课题研究涉及到《数学分析》最基本、最核心的知识点，而且此类研究往往会激发很多富有智慧的数学思想，极具启迪意义.闭区间上的连续函数的有界性定理，就是连续函数的非常重要的一条性质，该性质的证明涉及到函数连续性、函数极限、归结原则和反证法等若干重要知识点和证明技巧的运用，故对该性质的证明思路和技巧的掌握，是非常重要的教学目标.

我们列举两个不同的连续函数有界性定理的证明，证明分别来自于华东师范大学数学科学学院编著的数学分析教材[1]、北京大学数学系伍胜健教授编著的数学分析教材[2]，后者给出的证明与复旦大学陈纪修等编著的数学分析教材[3]给出的证明如出一辙.上述3种不同的数学分析教材是目前国内诸多高校广为采用的教材，极具代表性.

定理1[1]设函数f∈C[a,b].则f在[a,b]上有界.

证明若不然，不妨假设f在[a,b]上无上界.那么存在xn∈[a,b],使得

f(xn)>n,n=1,2,3,…,

a≤xnk≤b,

利用极限的保不等式性质推得

a≤x0≤b,

故由f在点x0连续，结合归结原则导出

矛盾，故原结论成立.

上述证明所用方法为反证法，结合致密性定理、数列极限保不等式性及归结原则等重要知识点完成了证明.下面给出有界性定理的……