浙江省宁波市奉化区溪口中学 (315501) 金 杰

在一些函数问题中，虽然给出了函数表达式，但由于表达式比较复杂，不能直接通过函数式的代入解决问题，而需要对函数式进行代数变形，挖掘出函数的性质，再运用函数性质来解题，本文举例介绍几个常见模式，供读者朋友参考.

一、挖掘函数的单调性

点评：本题是一个解函数不等式问题，由于给出的函数表达式比较复杂，所以通过直接表示出f(x+a)和f(2a-x)后解不等式是不可能实现的，找到函数的单调性才是解决问题的关键.

(i)当a>0时，函数f(x)的图象如图1所示，从而，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，故由a>0⟹x+a>x⟹f(x+a)>f(x)，故不符合题意.

图1 图2

点评：本题通过对参数a进行分段讨论，化解了问题的难点，同时也显示此时有针对性的画图更能清晰地反映函数的性质，找到问题的实质.

二、挖掘函数的奇偶性

点评：本题的解决是从探求给出函数的单调性、奇偶性入手，将一个隐含关系变成一个简单的不等式，避免了分类讨论和复杂的代数运算.

点评：通过对已给的函数化简分析，再构造了一个奇函数，这样问题转化为可利用奇函数性质解决的问题.由于最值是相对复杂的问题，具体问题具体分析，抓住特点，顺势而为.

三、挖掘函数的周期性

解析：考察所给的分段函数，当x>0时是一个周期函数，由于方程f(x)=x+a有且仅有两个不相等的实数根，分别画出函数y=f(x)和y=x+a如图3，可看出实数a的取值范围是[3,4).

图3

点评：利用函数图象可直观地得到一些参数范围问题，但对画函数图象的要求比较高，特别需弄清楚函数的性质及基本走向、经过的特殊点及循环往复的周期情况等.

例6 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一个周期图像的最高点是(2,2)，与它相邻的最低点的横坐标是6，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)的值.

点评：欲求一些函数式若干项的和的问题，找出其式子规律性(如周期性)是非常重要的思维走向，解题时有如此的意识就能抓住机会，机智破题.

四、挖掘函数的对称性

解析：由于y=f(x)+f(2-x)是关于x=1对称，所以只要了解函数在[1，+∞)上的变化情况就能解决问题.由于f(x)+f(2-x)=

图4

点评：通过利用函数的对称性，求出函数解析式并画出函数图像，再由数形结合分析题意，转化求解，就使问题获得了圆满的解决，此处分段去绝对值符号很重要.

点评：由于x与2a-x关于x=a对称，所以f(x)与f(2a-x)在同一个单调区间内，抓住这个特殊条件将两个函数式配凑在一起是一个很好的选择.