由八省联考压轴题引起的思考*
2021-10-22江苏省扬州中学225009戚有建
江苏省扬州中学 (225009) 戚有建
一、考题展示
题目(2021年八省联考卷22题)已知函数f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.
(2)若g(x)≥2+ax,求实数a的值.
点评:本题是2021年八省联考卷的22题压轴题,选拔题,第(1)问考查函数不等式的证明,第(2)问考查不等式恒成立,考查分类讨论、等价转化、数形结合思想,有一定难度和区分度,本题结构简洁、表达流畅、静中有动、平中见奇、入口较宽,解法多样,背景丰富,令人回味无穷,极具教学价值和研究价值.
二、常规解法
解析:(1)(分区间逐段研究)
综上得,命题(1)得证.
图1
(2)(先做必要条件,再验证充分性)令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2﹐则h′(x)=ex+cosx-sinx-a,因为h(0)=0≥h(x),所以x=0是函数h(x)的极值点,所以h′(0)=0,即a=2,下面验证充分性.此时,h(x)=ex+sinx+cosx-2x-2,h′(x)=ex+cosx-sinx-2,h″(x)=ex-sinx-cosx.
综上得,a=2.
点评:对于第(2)小题,可以先做必要条件,再验证充分性.关键是抓住h(0)=0≥h(x),如此则有x=0是函数h(x)的极值点,从而h′(0)=0,即a=2.
三、简洁解法
解析:(1)(构建商函数,研究商函数最值)
综上得,命题得证.
(2)(构建商函数,研究商函数最值)
令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2,则h′(x)=ex+cosx-sinx-a,因为h(0)=0≥h(x),所以x=0是函数h(x)的极值点,所以h′(0)=0,即a=2,下面验证充分性.
四、命题背景
命题者是如何想到函数不等式ex+sinx+cosx≥2+ax的呢?研究后发现与泰勒公式有关.
五、背景应用
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
答案:(1)y=2x;(2)2.
例2(2019年全国卷I文科21题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求实数a的取值范围.