陈熙春 (广西省宁夏六盘山高级中学 750002)

近年来的高考试题中,涌现了许多数学经典名题,其背景新颖、立意高远、设问巧妙，犹如一颗颗闪耀的明珠,璀璨夺目,形成了一道亮丽的风景线.2021年高考全国乙卷理科数学第21题的命题背景正是阿基米德三角形及其性质.

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形通常称为阿基米德三角形.阿基米德三角形以其深刻的背景、丰厚的内涵产生了无穷的魅力.历经千年，阿基米德三角形仍然受到高考命题者的青睐．熟练掌握阿基米德三角形的基本性质,可以快速地解决相关问题,有利于帮助学生总结规律、拓展思维、提高能力.

1 真题呈现

例(2021年全国乙卷理科第21题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4．

(1)求p；

(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

分析 (1)根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值.

(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)．利用导数求出直线PA与PB的方程，进一步可求得直线AB的方程,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,求出|AB|以及点P到直线AB的距离,利用三角形的面积公式,结合二次函数的基本性质可求得△PAB面积的最大值.

(2)思维角度1：利用函数思想转化为二次函数的最值问题.

思维角度2：割补法.利用化归思想,利用中线对面积进行转化,把△PAB的面积转化为两个小三角形的面积之和．

思维角度3：“算两次”思想.

解法3 从不同角度分别计算点P的坐标．

2 阿基米德三角形探究

阿基米德三角形……