蒋春梅 王群智 杨东红

【摘要】传统的概率论与数理统计课程的课堂教学难以满足现代大学生的学习需求，结合新兴的互联网+信息教学技术和移动教学平台，对概率论与数理统计课程的课堂教学改革是教学研究的重点。基于云班课的教学平台，采用混合式的教学模式应用于概率论与数理统计课程的课堂教学设计及案例实施中。教学实践表明，线上线下混合的教学方式有助于提高学生学习的积极性和主动性，也促进教师更新教学理念和方法，达到提高课堂教学质量的效果。

【关键词】云班课  概率论与数理统计  混合式

【中图分类号】G642;O21-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）06-0122-03

一、研究背景

概率论与数理统计课程是各大院校理工和经管类各专业的基础必修课程之一，是一门应用性极强的数学学科。课程侧重培养学生的随机思维、数据意识和科学的思维能力，所提供的数学理论知识、思想方法不仅是学生学习后继课程的重要工具，也是培养学生创新应用能力的重要理论保障。概率统计教学基本以课堂教学为主，而课堂教学是高校人才培养的主阵地，《中共教育部党组关于加强高效课堂教学建设提高教学质量的指导意见》要求各高校适应新时期课堂教学的特点，抓好课堂教学的关键环节。该门课程中的许多概念、公式、定理等理论知识比较抽象难懂，需要一定的大学数学基础知识储备，学生学习起来会感觉比较枯燥、乏味。

目前，概率论与数理统计教学以“教师讲，学生听”的单向课堂为主，学生往往不知道为什么要学习相关理论知识，容易跟不上老师的思路和节奏，感到所学知识与实际工作所需要的技能、素质严重脱节，他们在课堂投入的智力和情感程度较低，更难以满足“互联网+”时代下企事业单位对人才数学思维能力的要求。如何使抽象的数学内容具体实例化，以激发学生学习的兴趣，如何加强课堂对学生学习效果的管理和监测，实现以教师为中心、学生被动接受的传统模式逐渐转变以教师为主导，学生为主体的教学模式转变。结合实际教学经验，本文以“数学期望”教学内容的设计为案例给出新的尝试，通过混合启发式、互动式、讨论式教学方法，线上线下相結合的教学模式，引导学生回归数学的本质，从理解概念的来源、期望概念的实际应用和它的各类计算方法，设计问题来吸引学生的注意力，提高利用数学思维来分析和解决实际问题的能力。

二、混合式教学模式在概率论与数理统计课程教学中的

设计和实践

线上线下混合式的教学方式是将网络学习优势和传统教学模式优势相结合的教学模式，这种教学模式既能发挥教师在引导、启发、管理学生学习方面的主导作用，又能充分调动学生的主动性和积极性，满足学生差异化学习的需求。开展混合教学模式首要条件就是网络平台课程资源的搭建，在此基础上才能设计实施混合式教学方案。本文主要借助云班课智能教学助手为学生进行自主学习和移动学习提供平台，其中包括课程电子教案和课件，练习与测验供学生课前预习、课堂熟练、课后巩固提高，课程拓展资源等内容，为课程打造为校级精品课程做筹备。下面以数学期望为例说明基于云班课的混合式教学模式的实践应用过程。

1.课前任务。数学期望是概率统计课程里非常重要的概念，它是学生后续学习统计推断的常用数学工具。针对本节教学目标和重难点要求，教师课前在云班课平台布置两个预习任务：（1）回忆中学里平均值的含义，猜测离散型两点分布随机变量的平均值;（2）一个随机变量与常数之间如何进行比较呢？预习小任务可以让学生带着问题进行自主学习，开始思考数学期望概念最开始的出处，它是平均值的推广和一般化。

2.基于问题导入新课的内容。通过两个引例，射击训练中的平均射中环数和嘉年华中经典的掷三骰子游戏引入数学期望概念的来源，第一个引例学生很熟悉，将平均环数的数学形式变形成所有取值与其比例的乘积，来启发学生加深对平均值的再认识——随机现象的各种结果与其取值概率乘积的全求和。第二个引例，首先你需要下1美元的注，接着你可以掷三个骰子，如果结果中至少有一个骰子是6点，你将获得2美元，如果结果中没有一个骰子是6点，你没有任何收益，问：值得玩此游戏么？教师先引导学生预料这个游戏可能的结果：（1）收益2美元，其概率为P{至少有一个骰子是6点}=1-=;（2）没有收益，其概率为P{没有一个骰子是6点}=，由引例1的经验提问学生，玩一局游戏可期待的收益为多少？不难得出结果2×+0×=0.84美元。对比投入1美元的，显然收益对商家更为有利。为进一步理解这个式子，继续提问学生掷三个骰子有多少种不同的等可能结果？63=216，其中53=125种结果的收益为0美元，63-53=91种结果的收益为2美元，如此=2×+0×，确实表示玩一局游戏的平均收益。

两个引例直观形象，与中学的平均值自然衔接，由此引入数学期望概念的含义。假设某随机变量可能出现的数值为x1，x2，概率分别为p1，p2，这时的平均值就表示为x1p1+x2p2。更为普遍的情况，若随机变量可能出现的结果有x1，x2，…，xn，相应的概率为p1，…，pn，则这个随机变量的平均值为x1p1+x2p2+…+xnpn。学生初步建立平均值是以概率为权重的加权平均思想，数学期望的概念即来源于此，从而诱导出离散型随机变量数学期望的定义。

3.数学期望的定义及理论应用。1657年，惠更斯将他和帕斯卡、费马的讨论整理成《关于赌博中的推断》一书。书中，惠更斯明确提出数学期望的初始形式：数学期望是简单算术平均的一种推广，它也称为均值。实际生活中平均值的概念广泛存在，如某课程考试的平均成绩，某国家人口的平均寿命，一段时间内某城市新售商品房的平均单价等。下面来看离散型随机变量数学期望的定义：

定义3.1 设X为离散型随机变量，其分布律为P{X=xk}=pk（k=1，2，…）若级数xkpk绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望，记为E（X）。

这里解释一下学生可能的困惑：条件中级数xkpk绝对收敛的原因，它是为保证级数求和与次序无关。教师启发学生注意到数学期望是一个数字，不再具有随机性。并指出数学期望的统计意义，它反映随机变量众多取值的中心位置，随着对随机变量观察次数的增加，大量观察值的平均值会越来越接近其数学期望E（X）。接下来以彩票中奖问题为例，彩票共100万张，每张5元。头奖8个，奖10万元;二等奖100个，奖5000元;三等奖1000个，奖200元;四等奖100000个， 奖10元， 问买彩票是一种投资方式吗？通过计算一张彩票的平均收益，学生发现买彩票并不是一种投资，只是一种献爱心的行为。这里切入课程思政教育——大数据时代，不抱侥幸心理，有限的时间花在更有意义的事情上来。离散型中最常见的泊松分布作为练习题，学生自行练习，师生一起探讨它的数学期望求解过程。

有了离散型随机变量的数学期望的概念，自然要问连续型随机变量的数学期望的概念，这也是本节教学内容的难点。这里我们通过类比、转化和迁移的常用思想方法，将连续问题离散化来引导学生理解连续型的数学期望定义。设X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），-∞

定义3.2  设X为连续型随机变量，其密度为f（x），若广义积分xf（x）dx绝对收敛，则称xf（x）dx的值为连续型随机变量X的数学期望，记为EX。

教师启发学生观察3.1和3.2，两种类型的数学期望定义虽然形式不同，究其本质却是相同的，即随机变量的所有可能取值与相应概率乘积的全求和。然后，以连续型中最常见的正态分布为例介绍的数学期望的具体求解方法。接下来，给学生预留时间自行练习指数分布的数学期望，将简要思路图片上传至云班课里，便于教师及时反馈到学生的课堂学习效果和掌握程度。这里以柯西分布为例开阔学生的认知，数学期望也有不存在的情形。

继续研究随机变量的数学期望问题，由问题引入随机变量函数的数学期望问题，如已知风速V～U（0，a），飞机机翼受到的压力W=kV2，其中k是正常数，问机翼受到的平均压力为多大？它归纳成这样的数学问题：已知X的概率分布，Y=g（x）为连续函数，若Y=g（X）也是随机变量，那么如何计算Y的数学期望？以X～E（1），Y=2X为例，启发学生思考。首先，引导回忆求解随机变量函数分布的方法，可以求得Y的密度函数，fY（y）=fX（）·，再利用期望的定义得到E（Y）=yfY（y）dy。这里我们将其形式变形E（Y）yfY（y）dy=yfX（）dy2x·fX（x）dx=g（x）·fX（x）dx启发学生观察最后的形式，它依然满足数学期望概念的本质——随机变量的所有可能取值与相应概率乘积的全求和。在一般情形下，求解随机变量函数的分布过程往往比较复杂，这个结果告诉我们能根据已知随机变量的分布直接表示出其函数的数学期望，避免求解随机变量函数的分布。推广至一般情形，顺理成章地得到随机变量函数的数学期望的定理，并举例使学生充分体会定理的理论优势。

（4）应用举例。数学期望的概念不能只停留在数学层面，还要回到实际层面，即需要引导学生利用所学知识解决实际问题。以经典的“血液分组检测问题”为例，第二次世界大战期间，数千万的美国应征者在入伍前进行了梅毒测验，预计大概有几千人感染了这种病。化验血样是一个非常耗时而昂贵的过程，哈佛经济学家罗伯特·陶福曼建议采取——分组检验法。让我们看看这种方法背后的数学原理。可设计问题如下，假设独立选取20人一组，每个人患某病毒的概率为0.01。师生一起分析，方案一：逐一进行化验，需要20次;方案二：20人为一组混合他们的血液在一起化验。若结果为阴性，只需化验一次，结果为阳性，需要化验21次，如何与方案一呢？需要求方案二的平均化验的次数。设X表示方案二所需的化验次数，要先求X的分布律。通过学生讨论得到X的分。从而EX=1×（1-0.01）20+21×（1-0.9920）≈4.6，每組平均化验次数不到5次。

结合当前热点问题，武汉市5月14日至23日的10天时间，完成了900多万人次的采样和657.4万人次的检测，这种千万级别检测在十天内完成也是采取的分组检测法。国内据官方披露的消息来看，谨慎地采取了每组最多混合五份样本。

5.课后任务。教师根据课堂讲授和学生互动情况精心选择课后练习并上传至云班课学习平台，如联系实际，举例期望概念在实际生活中的应用，并查阅有关均值—方差投资组合模型问题案例，让学生动起来。

三、结束语

基于云班课的线上线下混合教学模式，整合了传统课堂教学和互联网教育的双重优势，互相补充和促进，教师能及时掌握到学生的反馈信息，学生在课堂的参与度较高，以实现教师为主导，学生为主体的双主教学结构。为巩固课堂教学效果，如何开展课外的线上学习指导也是后续值得探讨的地方。线上辅助教学是一个不断完善的过程，需要进一步的研究和探索，最终实现全面提升课程教学效果、培养学生概率统计思维及综合分析问题的目标。

参考文献：

[1]赵鲁涛.概率论与数理统计教学设计[M].北京：机械工业出版社，2015.

[2]赵瑞.基于翻转课堂的概率论与数理统计案例教学研究[J].科技视界，2020，18（312）：38-39.

[3]高姗.混合式教学模式在概率论与统计课程中的应用探究[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2020，20（3）：101-103.

作者简介：

蒋春梅（1981年-），女，汉族，江苏省淮安市人，硕士研究生，副教授，研究方向：随机过程。