胡冰清，沈广艳

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

1 虚拟纽结的极小生成集

1999年，Kauffman[1]提出了虚拟纽结的理论.之前研究的经典纽结是把闭曲线嵌入到3维空间中，而虚拟纽结是把闭曲线嵌入到加厚曲面Sɡ×I(Sɡ为亏格是g的闭曲面，I为闭区间[0，1]).

两个虚拟链环图D和D′是合痕的，等价于D可以通过一系列的推广的R-移动，变成D′.

定义1[1]推广的R-移动：

(1) 关于经典交叉的经典的R-移动；

(2) 虚拟的VR-Ⅰ，VR-Ⅱ，VR-Ⅲ移动；

(3) “半虚拟”的semi-VR-Ⅲ移动.

定义2[2]一个虚拟链环是虚拟链环图模去推广的R-移动的一个等价类.

Polyak[3]讨论了经典纽结的定向的R-移动极小生成集.R-移动与VR-移动见图1.

图1 R-移动与VR-移动

定理1[3]设D和D′是同一定向链环在R2中的两个投影图，则可以通过有限次4种定向的R-移动Ω1a，Ω1b，Ω2a，Ω3a，见图2，使D合痕于D′.

图2 定向R-移动

仿照文献[3]，本文给出虚拟纽结的定向的推广R-移动的极小生成集.为此，先将所有的定向的VR-Ⅰ，VR-Ⅱ，VR-Ⅲ，semi-VR-Ⅲ的种类列出来.

图3 定向VR-移动

图4 定向semi-VR-Ⅲ移动

证明见图5.

图生成图

证明见图6.

图生成图

证明见图7.

图生成图

证明见图8.

图生成图

证明见图9.

图生成图

证明见图10.

图生成图

证明由引理1—6可得结论.

2 虚拟纽结的区域不变量

Yang[4]构造了一个区域不变量，用一个纽结的平面图D把平面分成了很多个区域a，b，c，d，…，把每个区域都当成生成元，见图11，在每个交叉都增加一个线性关系ax+by+cz+dw=0.用LT(D)={a，b，c，d，…，r1，r2，r3，…}表示产生的代数结构.称之为D的一个线性的tridle.[5-7]R-移动的不变性表明条件xz=yw一定要满足.

对虚拟纽结投影图中的经典的交叉仍定义关系r：ax+by+cz+dw=0，其中xz=yw.对虚拟交叉定义关系r′：ax′+by′+cz′+dw′=0.要求x，y，z，w，x′，y′，z′，w′可逆.下面，记LT(D)={a，b，c，d，…，r1，r2，r3，…}，给出LT(D)为虚拟纽结不变量时，应满足的代数结构.

图11 定向虚拟纽结区域生成元

定理3LT(D)是一个虚拟纽结的不变量.

首先对虚拟的VR-Ⅰ，如图12所示，将每个区域分配生成元a，b，c，….LT(D)={a，b|r1，r2，…}.那么在D′中，生成元满足bx′+ay′+bz′+cw′=0，LT(D′)={a，b，c，…|bx′+ay′+bz′+cw′=0，r1，r2，…}.应用文献[4]的Tietz变换消去c和c的关系，得LT(D)≅LT(D′).

对虚拟的VR-Ⅱ，如图13所示，将每个区域分配生成元a，b，c，….LT(D)={a，b，c|r1，r2，…}.那么在D′中，生成元满足bx′+ay′+dz′+cw′=0，dx′+ay′+bz′+cw′=0.故有x′=z′.那么在D′中，LT(D′)={d，a，b，c，…|bx′+ay′+dz′+cw′=0，r1，r2，…}.应用文献[4]的Tietz变换消去d和d的关系，得LT(D)≅LT(D′).

对虚拟的VR-Ⅲ，如图14所示，将每个区域分配生成元X，Y，E，….LT(D)={X，Y，E，F，T，U，V，…|r1，r2，…}.

图12 定向VR-Ⅰ区域生成元

图14 定向VR-Ⅲ区域生成元

r4：Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0；

r5：Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0；

r6：Vx+Ty+Fz+Uw=0.

把T，U，V当成未知的，由r4，有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.把T的表达式代入r5中，有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.把T，V代入r6中，有

在D′中，这里有3个交叉，所以有3个关系式：

所以

在K中，有3个交叉.所以有3个关系式：

r7：Fx+Ty+Vz+Uw=0；

r8：Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0；

r9：Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0.

由r8，有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.代入r9，有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.将T，V代入r7，有

在K′中，有3个交叉.所以有3个关系式：