邵 云

(南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171)

在一个偶然的机会，笔者看到一女子在游泳池中游泳的短视频，如图1所示.视频中该女子在水面上方的人脸实物与水面下方身体的虚像之间竟有如此大的“分离”，令人惊讶.笔者曾经在本刊《物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则及应用分析》[1]一文中对该现象进行了初步的分析，对泳者“身首”在图1中玻璃池壁方向上的视觉分离距离进行了简单的作图验证，并对其变化趋势也进行了初步的判断.本文则更进一步，从根本的成像位置出发，利用平面几何与三角函数知识，定量地计算出图1中泳者“身首”视觉分离的距离，及其随视距、视角和深度的变化关系，并辅以图示，籍以为读者呈现一个更为清晰和完整的认识.

图1 游泳池中泳者的“身首分离”折射现象

1 水下物点P经水面折射成像的虚像点位置

如图2所示，水下h深度处一物点P发出一细束光线，在水面的入射角为i，折射角即人眼的视角为r，折射光线的反向延长线成虚像点于图中P′点，P′位于物点P的右上方[1].姚启钧《光学教程》[2]给出像点P′的坐标为

图2 来自水下物点P的某一细束折射光线成像

x′=h(n2-1)tan3i

(1)

(2)

其中水的折射率n设为4/3.

(3)

将式(3)代入式(1)、(2)即得

(4)

(5)

此即以视角r所表示的像点坐标.若令h=1 m，则根据式(4)、(5)可作出像点P′随视角r的变化轨迹，如图3所示.

图3 水下h=1 m深处的物点P的虚像点P′随视角r的变化轨迹

2 图1中泳者“身首分离”现象的光学解析

由式(4)、(5)可见，若物点深度或者说水介质层的厚度h→0，则有x′→0,y′→0，物点与像点趋于重合.推而广之，可以证明[3]，当光路途中某个平行介质层很薄时，它对于物点最终成像位置坐标的贡献将可被忽略！由于图1中的玻璃游泳池壁相对很薄，因此它对最终成像位置的贡献近似可以忽略，即泳者水下身体的成像可近似看作水→空气的一次折射成像，如图4所示.

图4 观察者E所看到的水上物点P(人脸)和水下像点P′(人身)位置

2.1 用图4中的h、r、d来表达

根据图4，显然有

xA=htani

(6)

观察者E的坐标则为

xE=htani+dsinr

(7)

yE=dcosr

(8)

鉴于P、B、E三点共线，故有比例关系：

(9)

解之得

(10)

于是，联立式(6)—(8)、(10)，即得图4中视觉分离的距离

(11)

再将式(3)代入式(11)，整理后便得

(12)

2.2 用图4中的坐标xE、yE、xA来表达

当观察者的位置(xE,yE)固定时，不难看出，图4中的视角r、距离d均随物点深度h的变化而变化，因此此时式(12)中的h、d、r并非彼此独立.由图4得

(13)

将式(13)代入式(3)可得

(14)

再联立式(6)、(10)、(14)，整理即得

(15)

2.3 物点、观察者位置坐标h,xE,yE均给定时的

(16)

若将式(16)变形为

(17)

3 视觉分离距离的大小及变化趋势

同理，当物点P的位置(即h)固定，且观察者的距离d也固定时，通过观察，可发现式(12)的分母是视角r的单调递减函数，同时容易证明式(12)的分子是视角r的单调递增函数，即有

图5 几个典型的观察者位置下xB-xA随xA的变化曲线

4 关于图5中极点的计算

(18)

将图5中的4个观察者位置坐标：(10,1),(10,5),(10,10),(10,100)分别代入式(18)，利用Excel软件，可算出图5中4个极值点的横坐标xA分别为：2.240 7 m,3.058 2 m,3.789 7 m,4.630 1 m.

4.440 6 m,1.378 5 m,0.890 0 m,0.719 5 m；

进而代入式(17)，则得对应的h值：2.013 3 m,3.987 5 m,8.796 2 m,115.039 0 m.

经检验，这里由式(18)算得的xA值与图5中的极点位置吻合.

同理，利用式(15)、(17)、(18)，也可以对其他观察者位置(xE,yE)下的情况作类似的分析.

5 观察者位置固定时随h的变化曲线

图6 几个典型的观察者位置下xB-xA随h的变化曲线

从曲线的形状上看，图6和图5有较大的差别，其原因在于h与xA之间的函数关系式(17).尽管如此，此时的h与xA是一一单调对应的，因此图6中的极点实质上也是图5中的极点.

6 总结与说明

本文的结论式(12)、(15)—(18)具有普适性，它们同样适用于其他介质情形，对于教学与科研或有参考价值.