四元数张量方程A*NX=B 超对称极小范数最小二乘解2
2021-10-13袁仕芳
井冈山大学学报(自然科学版) 2021年4期
蒋 华,袁仕芳
(五邑大学数学与计算科学学院,广东,江门 529020)
0 引言
本文记RI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM实张量集合,CI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM复张量集合,QI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM四元数张量集合,SSRI1×…×IN为I1×… ×IN实超对称张量集合,SSQI1×…×IN为I1×… ×IN四元数超对称张量集合;对于A∈CI1×…×IN×J1×…×JN,Re(A) ,Im(A) 和A+分别表示张量A的实部、虚部和广义逆。
四元数是William Rowan Hamilton于1843年首次提出的。任意四元数q可以用实数q0,q1,q2,q3唯一表示为
张量A和B的Einstein 积*N定义为
1 几个引理和定义
A和B的行块张量定义为
2 Hilbert 内积空间中的一类线性最小二乘问题
定理2 如果问题II 中的张量方程(15)是不相容的,则问题III 的解集与方程(16)的解集相同。
3 一种张量与向量乘积
4A *N X = B 在 X∈SS下的结构
所以
5 问题I 的解
现在求解问题I。利用定理3,可以将四元数张量方程A*NX=B的最小二乘问题转化为实张量方程的最小二乘问题,并用Moore-Penrose广义逆求解。
对于四元数张量
证明 根据定理2 和定理3,问题I 等价于下面相容的矩阵方程
6 数值算法和数值例子
本节利用MATLAB 软件给出求解问题I 的数值算法和数值例子。
算法 1
其中
其中