刘桂敏，张美黎，吕洪斌

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

张量的特征值问题有重要的应用背景，如在盲源分离[1]、磁共振成像[2-3]、分子构象[4]等方面都有重要应用.其中，非负张量的特征值和特征向量有许多研究结果[5-8].本文给出一个具有一般形式的非负张量谱半径(最大特征值)的估计不等式.

1 定义及基本结果

如果ai1i2…im≥0，ij=1，2，…，n，j=1，2，…，m，则称为非负张量.我们记所有m阶n维非负张量的集合为.

一个m阶n维张量=(δi1…im)称为单位张量，如果

定义1[5-6]对于m阶n维张量和一个向量x=(x1，x2，…，xn)T，xm-1是一个向量，其第i个分量为

(

如果有λ∈和一个非零向量x=(x1，x2，…，xn)T，使得

类似于非负矩阵理论，我们称ρ()=sup{|λ|：λ∈σ()}是张量的谱半径，其中σ()是张量的特征值集合.

文献[7]将不可约矩阵的概念推广到张量.

定义2[7]对于m阶n维张量=(ai1i2…im)，如果存在一个非空的真子集I⊂〈n〉，使得

ai1i2…im=0， ∀i1∈I， ∀i2，…，im∉I，

关于非负张量的特征值和特征向量文献[7]给出了如下结果：

定理1[7]设=(ai1i2…im)∈，则存在λ0≥0和一个非负向量x0≠0，使得

(1)

定理2[7]设=(ai1i2…im)∈不可约，则方程(1)中的(λ0，x0)满足：

(ⅰ)λ0>0是的一个特征值.

(ⅱ)x0>0，即x0的所有分量是正的.

(ⅲ)如果λ是的一个具有非负特征向量的特征值，则λ=λ0.此外，在不计倍数的情况下非负特征向量是唯一的.

(ⅳ)如果λ是的特征值，则|λ|≤λ0.

由定理2(ⅱ)和(ⅳ)可知，非负张量的谱半径即是其按模最大特征值.

定义

引理1[9]设=(ai1i2…im)∈，=(ci1i2…im)∈，0≤≤，则ρ()≤ρ().

由引理1我们有

引理2设=(ai1i2…im)∈不可约，则ρ()>ai…i，i∈〈n〉.

文献[9]给出了非负张量谱半径的上下界估计结果：

定理3[9]设=(ai1i2…im)∈，则

文献[10]给出了非负张量谱半径上下界估计的改进结果：

定理4[10]设=(ai1i2…im)∈，且n≥2，则

δ()≤ρ()，

其中

δ()，

δi， j(.

本文给出非负张量谱半径上下界估计的一个具有一般形式……