王全来

(天津师范大学计算机与信息工程学院,天津 300387)

1 引言

多项式以及整函数零点问题经常出现于数学、物理学和经济学等学科中.该问题在柯西、傅里叶、波利亚等人工作的影响下,关于多项式以及整函数零点的研究一直是数学学科的经典课题之一.多项式的零点定理一般不能自然地推广到整函数上去,特别是有微分运算的定理,对此波利亚做出了奠基性的工作.他深入研究了一个函数在微分运算下的零点行为,得到了许多深刻结果,函数的最后集理论即是其中之一,其思想和方法影响至今.函数的最后集理论散见于一些数学理论著作中.对于波利亚的最后集工作,阿兰德森(G.L.Alexanderson)在2000年的著作中只是简单提及,缺乏系统研究[1].除此之外,国内外尚未见到其它研究文献.鉴于此,本文以原始文献(挖掘了一些鲜为人知的文献,如马尔科夫 (A.A.Markoff)、费耶(E.Feyer)等人的工作)为依据,系统梳理了波利亚在函数最后集上的工作,借此探讨了函数最后集理论的发展脉络,以补现有文献的不足.

2 最后集提出的背景

2.1 波利亚之前一些学者的相关工作

多项式零点理论中一个重要组成部分是对多项式及其导数零点关系的研究,例如早在1816年,高斯在数学笔记中就对多项式导数的零点给出了物理解释.1874年,拉卡斯(F.Lucas)阐述并证明了高斯-拉卡斯定理:一个多项式导数的零点包含在该多项式零点的凸包中.在1901年,格瑞斯(J.H.Grace)在5页篇幅的论文中获得了一个奇特的……