■张普怀

本章的主要解题类型有两个方面:一是一元二次方程与一元二次不等式的基本解法,二是利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式问题。下面就一元二次函数、方程和不等式问题的常见典型考题举例分析,供大家学习与提高。

题型一:三个“二次”的关系

已知一元二次不等式的解集,可知a的符号和方程ax2+bx+c=0 的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系。

例1已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1

解:由一元二次不等式的解集,可知a的符号和方程ax2-bx+2=0的两根,利用根与系数的关系可求a,b的值。

(方法1)由题设条件知a>0,且1,2 是方程ax2-bx+2=0的两实根。

(方法2)根据题设条件,可把x=1,x=2 分别代入方程ax2-bx+2=0,可得

跟踪训练1:若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3 或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集。

提示:因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3 或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根。由根与系数的关系可得解得

所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0(a<0),即x2-2x-15≥0。由此解得x≤-3或x≥5,故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}。

题型二:用不等式(组)表示不等关系

必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位的统一。

例2某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10 元销售,每天可销售100 件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润。已知这种商品的售价每提高1 元,销售量就相应减少10 件。若把提价后商品的售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元?

解:由“这种商品的售价每提高1 元,销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润,由“每天的利润不低于300 元”确定不等关系,即可列出不等式。

若提价后商品的售价为x元,则销售量减少×10=(x-10)×10(件),因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)](元),则“每天的利润不低于300 元”可以用不等式表示为(x-8)[100-10(x-10)]≥300。

跟踪训练2:用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm,试用不等式表示其中的不等关系。

提示:由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0

题型三:利用不等式的性质证明不等式

解决此类问题一定要在理解的基础上,熟记不等式的性质并注意在解题中灵活应用。应用不等式的性质进行推导时,要紧扣不等式性质的成立条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则。

题型四:利用基本不等式求最值

几个重要的不等式(下面不等式等号成立的条件均为a=b):a2+b2≥2ab(a,b∈≥2(a,b同号);ab≤b∈R);。算术平均数与几何平均数:设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。利用基本不等式求最值问题:已知x>0,y>0,如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值(积定和最小);如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值(和定积最大)。

例4已知正数x,y满足x+2y=3,则的最小值为_____。

题型五:一元二次不等式在实数集上的恒成立问题

不等式ax2+bx+c>0对任意x∈R 恒成立⇔不等式ax2+bx+c<0对任意x∈R恒成立⇔。

例5关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的取值范围。

解:由a2-1=0,可得a=±1。当a=1时,不等式可化为-1<0,解集为R;当a=-1时,不等式可化为2x-1<0,解集为,此时解集不为R。所以a=1,满足条件。

由a2-1≠0,可得a≠±1。原不等式解集为R 的条件是:

跟踪训练5:若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R 恒成立,则a的取值范围是____。

提示:当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,显然恒成立,这时解集为R,可知a=2满足条件;当a-2≠0时,要使原不等式解集为R,需满足解得-2

综上所述,a的取值范围是-2

题型六:一元二次不等式在某特定范围上的恒成立问题

a≥y或a≤y型不等式是恒成立问题中最基本的类型,a≥y在x∈D上恒成立,则a≥ymax(x∈D,y存在最大值);a≤y在x∈D上恒成立,则a≤ymin(x∈D,y存在最小值)。

例6已知y=x2+ax+3-a,当-2≤x≤2 时,y≥2 恒成立,求实数a的取值范围。

跟踪训练6:对∀x∈[1,4],不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围。

提示:当x=1 时,不等式为0≤4 恒成立,此时a∈R;

故实数a的取值范围为(-∞,4]。

感悟与提高

1.设a,b是非零实数,若a