朱华平

[真题呈现]

例1（2020·江苏·南京）如圖1①，要在一条笔直的路边[l]上建一个燃气站，向[l]同侧的[A]，[B]两个城镇分别铺设管道输送燃气. 试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

（1）如图1②，作出点[A]关于[l]的对称点[A]'，线段[A'B]与直线[l]的交点[C]的位置即为所求，即在点[C]处建燃气站，所得路线[A—C—B]是最短的. 为了证明点[C]的位置即为所求，不妨在直线[l]上另外任取一点[C']，连接[AC']，[BC']，证明[AC+CB<AC′+C'B]. 请完成此证明.

（2）如果在[A]，[B]两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域. 请给出生态保护区是正方形区域且位置如图1③所示情形下铺设管道的方案（不需说明理由）.

[破解策略]

解决最短路径问题，关键是通过作A，B中的一个点关于直线l的对称点，将直线同侧的两点转化为直线异侧的两点，再运用“两点之间，线段最短”来确定最短路径. 因此，解决最短路径问题，常用到如图1①、图1②所示的两个基本图形.

（1）如图1②，易知AC + BC = A'C + BC = A'B，要证明AC + BC

（2）如图2，显然最短路径必须经过正方形右下角的顶点D，根据“两点之间，线段最短”，可知B，D间的最短路径是线段BD，而A，D位于直线l的同侧，运用（1）中的方法，作点A关于直线l的对称点[A']，连接A'D交直线l于点C，则A到直线l再到D的最短路径是A—C—D，进而找到了最短路径为A—C—D—B，即在点[C]处建燃气站，铺设管道的最短路线是折线[ACDB]（其中点[D]是正方形的顶点）.

[原题延伸]

变式1 在三角形中研究最短路径.

例2 如图3，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_____________cm.

解析：如……