文／茅莉萍

在解决数学问题遇到困难时，同学们可以尝试回想基本概念与基本方法，往往能有意想不到的收获。一元二次方程是我们初中阶段学习的重要知识，关于一元二次方程的根，同学们就可以到概念中去寻找解题的突破口。苏科版数学教材七年级上册第99 页提出“能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解”，对于只含一个未知数的方程的解，也叫作方程的根。

一、回归根的概念，构造适当方程

苏科版数学教材九年级上册第35 页“探索研究”第17题：

例1写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、-2。

【分析】根据方程根的概念，可以逆向运用因式分解法解一元二次方程的过程，将所求的一元二次方程转化为两个根分别是3、-2 的一元一次方程的乘积，故所求的方程可写成a（x-3）（x+2）=0。不同的a的取值可以对应不同的一元二次方程，同学们选择一个即可。一般地，取a=1，对应的方程最简单。

一般地，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，可把方程写成a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0。

解：以3、-2 为根的一元二次方程可写成a（x-3）（x+2）=0，令a=1，得x2-x-6=0。

变式1已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的两倍。

【分析】本题可设新方程的根是y，再将已知方程的根用y表示。根据方程根的概念，将用y表示的根代入原方程，就能得到所要求的新方程。

解：设所求方程的根为y，则y=2x，即x=代入已知方程，得

化简，得y2+2y-8=0，

故所求方程为y2+2y-8=0。

变式2已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，求

【分析】根据方程根的概念，当已知的两个等式具有相同的结构，就可以把这两个元看成是关于某个字母的一元二次方程的两个根。……