李鹏飞，向胜涛，孔德睿，杨子泉

1信阳学院 土木工程学院,河南 信阳 464031 2长沙理工大学 土木工程学院, 长沙 410114

0 引言

我国国土面积广阔,约占全球陆地总面积7 %的国土上发生了占全球35 %的7级以上大地震[1],且近年来我国各地灾害频发,汶川、玉树、绵竹、宜宾、盐津等地均发生了数起不同震级的大小地震,对具有交通枢纽作用的各类桥梁在防震减灾问题提出了严峻的考验[2-5].铅芯橡胶支座作为目前桥梁隔震设计中应用最为广泛的减隔震装置,其通过在普通板式橡胶支座的中心或中心周围区域增加一个或多个竖直铅芯制成,具有加工制造难度低、经济成本低廉、性能可靠、承载力大以及便于安装等优点[6-7].然而,铅芯橡胶支座由橡胶、铅、钢材等多种材料组成,存在着几何尺寸(铅芯直径、支座有效面积、单层钢板厚度、单层橡胶层厚度、钢板层数、橡胶层数、第一形状系数、第二形状系数)与材料力学本构等多项参数,为得到与设计预期性能一致的铅芯橡胶支座，往往需反复进行设计-试验-修正的工作,时间经济成本较高；铅芯橡胶支座各参数与支座力学性能存在着典型的非线性关系,部分参数之间还存在着相互影响,目前主要针对单一参数对支座力学性能的影响进行研究,少有对多个参数共同作用的影响研究,无法满足实际支座设计制作中需考虑多参数的情况,当多个参数变化时,需重新进行试验或建立有限元(FEM)分析,费时费力,且难以实现对某组给定参数进行优化.这也对各个参数作用的明确增加了难度,对传统铅芯橡胶支座的设计制造、性能评估造成了不利影响.

为明确铅芯橡胶支座各参数与其力学性能相关性,国内外进行了大量实验、理论研究.Kalpakidis对铅芯橡胶隔震支座在大位移多次往复荷载下的水平剪切性能进行了试验研究,结果表明，铅芯耗散能量以及铅芯温度升高导致了铅芯橡胶隔震支座强度退化[8-10]；Warn等[11]人通过试验研究了侧移对于支座压缩刚度的影响,并对比分析了重叠面积法、拉伸屈曲公式、双弹簧模型及分段线性法的准确性；Vemuru等[12]人针对动力荷载作用下隔震支座水平与竖向间耦合效应提出了相应的支座模型,但仅依靠静力试验并不能确定该模型中的参数; 周福霖[13]和周锡元[14]等人系统研究了铅芯橡胶支座的力学能,根据相关试验结果拟合了支座屈前刚度、屈后刚度和屈服剪力的计算公式,并对隔震支座的稳定性与强度进行了相关研究；李枝军[6]等人通过试验研究了竖向荷载与加载速率对摩擦系数的影响,并通过建立精细化FEM模型模拟了支座上下表面的摩擦作用以及由于墩柱大变形产生的支座不均匀受压甚至卡压现象；江宜城等[15]人对方形铅芯橡胶支座进行了力学性能试验,验证了相应力学参数理论公式,为方形铅芯橡胶支座的设计提供了参考；吴彬[7]等人通过水平动态力学试验,对不同构造铅芯橡胶支座力学性能与其结构构造及外加动载之间的关系进行了研究,提出了支座动态力学性能与几何构造、组成材料的数学关系；刘彦辉[16]等人采用足尺模型,通过试验对铅芯橡胶支座大变形往复荷载下力学性能退化问题进行了研究,计算了往复变形圈数对屈服力的影响.

为克服传统试验或有限元方法的不足,本文提出了基于ANN(人工神经网络)的铅芯橡胶支座力学性能的快速评估方法与参数寻优方法.首先,依托试验与有限元仿真结果,计算铅芯、钢材、橡胶组成的复合材料体系下支座力学性能指标，并验证有限元方法的正确性与精度,编制程序批量计算不同参数下的有限元模型,提取相关参数与计算结果构建数据集；其次,建立ANN相关性模型,利用试验与有限元仿真数据进行训练,并对网络输出进行验证、测试,确保网络输出精度与泛化能力；然后,利用已训练完毕的ANN在给定特征参数下输出支座力学特性指标预测值,进行支座力学特性的快速评估；最后,引入粒子群算法(PSO),结合ANN实现支座参数寻优.本文方法具有实时、快速的特点,能在短时间内实现支座力学特性评估与支座参数寻优,可为相关设计、结构评估工作提供参考.

1 铅芯橡胶支座力学性能分析

对于铅芯橡胶支座,相关学者依据我国规范[17]采用轴心抗压、剪切和容许转角试验来测试其力学性能,进行了大量试验.考虑到本文需获取多组不同特征参数下铅芯橡胶支座力学特性,通过实际试验一一获取则时间经济成本较高,而现有有限元方法在包含橡胶这一超弹性材料的大变形仿真中具有较高的精度,且在文献[18-20]中均已得到验证,故通过有限元建立精细化模型对支座力学性能进行计算,并通过试验结果验证本模型精度,为后续工作生成不同特征参数组合.

1.1 精细化有限元模型建立

GZY 300×300铅芯橡胶支座参数见图1(a)与表1,根据相应参数,采用Abaqus建立精细化有限元模型(图1(b)),共18 240个节点,16 353个单元,其中,橡胶材料采用三维实体杂交单元C3D8H,以Mooney-Rivlin模型赋予材料属性,钢板及铅芯采用三维实体单元C3D8,具体参数见表1.

(a) 几何尺寸 (b) 有限元模型图1 铅芯橡胶支座Fig.1 Lead-core rubber bearing

表1 铅芯橡胶支座几何与材料参数Table 1 Geometry and material parameters of lead-core rubber bearing

为模拟实际试验中支座边界,将下封钢板底面节点所有平动自由度与转动自由度进行约束以实现下封板底面固结,上封钢板顶面采用MPC绑定约束耦合于一参考点,通过对参考点施加荷载实现对铅芯橡胶支座的加载.

1.2 仿真试验结果验证

铅芯橡胶支座主要力学特性指标包括竖向、水平加载时的刚度及滞回曲线,现分别对上述已建立的模型参考点施加竖向、水平荷载以模拟实际加载过程.为便于比对模型精度,采用与文献[15]相同加载方式,其中,对于竖向荷载,取轴压应力σd=12 MPa,采用(1±30 %)σd对应的竖向荷载往复加载,取第3次往复加载结果,按下式计算竖向刚度kV：

kV=(p1-p2)/(δ1-δ2)

(1)

式中,p1,p2为轴压应力为1.3σ1与0.7σ2时对应竖向荷载,N;δ1,δ2为轴压应力为1.3σ1与0.7σ2时对应竖向位移,mm.

对于水平刚度,取轴压应力σd=12 MPa,分别进行剪应变γ1=50%,f=0.3 Hz；γ2=100%,f=0.2 Hz；γ3=200%,f=0.1Hz的正弦波水平动力加载试验.通过滞回曲线计算支座水平等效刚度kh、屈服后刚kd度屈服力Qd：

kh=(Q+-Q-)/(U+-U-)

(2)

(3)

(4)

式中,Q+,Q-为最大水平正负位移对应的水平剪力,N;U+,U-为最大水平正负位移,mm;Qd1,Qd2为滞回曲线与剪力轴正方向与负方向的交点.

由式(1)对比文献[15]试验值及依据文献[21]计算值见表2.

表2 铅芯橡胶支座竖向刚度对比

在往复竖向荷载作用下计算所得支座竖向刚度与试验值、理论值较为接近,最大误差仅为7 %,说明FEM模型竖向刚度较为符合实际,具有较高精度,可适用于后续计算.

由式(2)～(4),对比文献[15]试验值及理论计算值见表3,不同剪应变及频率下支座滞回曲线如图2所示.

图2 3种剪应变下支座滞回曲线Fig.2 Bearing hysteresis curve under three shear strains

表3 铅芯橡胶支座水平刚度对比Table 3 Comparison of horizontal stiffness of lead-core rubber bearing

在保持竖向压应力下进行动力加载所得的支座水平等效刚度、屈后刚度与试验值、理论值较为接近,最大误差仅9 %,说明FEM水平刚度较为符合实际,因此通过已验证正确性与精度的FEM模型,通过批量化修改参数分析,即可快速获取不同特征参数组合下铅芯橡胶支座的力学性能,从而生成ANN训练所需数据集.

2 支座力学特性数据集

基于已验证的FEM模型,通过有限元计算易知,针对每一组特定的自变量,均有一组特定的因变量与之对应,二者为一一映射关系,即存在：

(5)

以支座边长、高度、橡胶层数、钢板层数、单层橡胶厚度、单层钢板厚度、上封钢板厚度、下封钢板厚度作为自变量,以kV,kh,kd,Qd为因变量,其中各自变量取值范围见表4.

表4 自变量取值范围与因变量Table 4 Value range of independent variable and dependent variable

采用Python编制Abaqus脚本实现批量参数化建模与批量分析,即可获取不同特征组合下的铅芯橡胶支座力学指标.采用数组容器形式将所有自变量、因变量按组储存,以实现数据集构建,为接下来的ANN模型输入数据提取做好准备.

3 ANN非线性相关性模型

上述已建立的数据集中,自变量与因变量之间存在复杂非线性关系,难以通过简单初等函数加以描述.考虑到ANN在非线性拟合方面巨大的优势,现通过建立ANN非线性相关性模型来对自变量与因变量之间的映射关系进行描述.ANN一般由输入层、隐含层、输出层组成,每层之间通过赋有权重的神经元进行连接,其能够以任意精度拟合任意复杂函数.图3(a)为典型ANN的结构,其中x表示网络输入数据,y为网络输出数据,其针对网络读入数据进行线性变换后输入非线性激活函数,并计算输出的误差来调整各层权重与偏置,最终满足误差要求后即认为网络训练完毕.基本ANN算法步骤如图3(b),主要计算方法如下：

(6)

(a) ANN结构 (b) 算法流程图3 ANN基本结构与算法Fig.3 ANN basic structure and algorithm

式中,h为隐含层输出;l为隐含层节点数;f为激活函数;ω为权重;b为偏置;x为输入;O为输出;e为误差.

具体计算方法与权值更新算法见文献[22].

3.1 模型基本参数

3.2 相关性建模方法

3.2.1 Mini-Btach

损失函数计算所得为训练数据的平均损失函数值,通过对单个训练数据损失函数值的平均化获得与训练样本容量大小无关的统一指标,对于容量较大的训练数据,如果网络一次读入所有数据进行训练,则其损失函数计算量将异常庞大,Mini-Batch方法在每个迭代期不重复随机抽样训练数据集的一部分输入网络进行计算,降低了ANN对计算机硬件资源的消耗.

3.2.2 Dropout

对于复杂结构模型,常使用Dropout方法抑制过拟合,其通过训练过程中随机删除隐含层神经元控制神经元信号的传递,由于每一个迭代期删除的神经元并不相同,使得Dropout方法以较低的计算成本将集成学习通过单一网络实现,具有较好的训练效果.

3.2.3 Batch Normalization

Batch Normalization算法[22]于2015年提出,其以学习时的Mini-Batch为单位进行Z-score标准化,再对已标准化的数据进行缩放和平移变换,并通过学习调整缩放系数与平移系数.Batch Normalization通过强制性调整激活函数值分布使得各层激活值拥有适当广度,具有提高学习效率,增强网络鲁棒性,抑制过拟合的优点.对ANN网络引入Batch Normalization算法,建立BN层并将其置于线性层与激活层之间,且对Mini-Batch数据进行Z-score标准化时对标准差增加一微小值(1e-9),以避免数据中方差为0的情况发生导致异常.

3.2.4 Early-Stopping

训练ANN最终目的在于获取泛化能力较好的网络参数,而一味使网络在训练数据上表现最优则有可能出现过拟合现象,因此对输入数据划分了验证数据,每完成一个迭代期后计算验证数据在当前网络中的损失函数,当其不断增大或变化缓慢时停止训练,保存所有迭代期中表现最佳的网络,提高训练效率抑制过拟合.

3.2.5 数据预处理

采用Z-score标准化对网络输入数据进行预处理,对标准差增加一微小值(1e-9),以避免数据中方差为0的情况发生导致异常.再对输入数据按70 %︰15 %︰15 %的比例划分为训练数据、验证数据、测试数据.

3.3 模型训练结果

以数据集中自变量为输入数据,因变量为目标数据,经过多次反复训练,保存表现最佳的网络,其通过输入数据计算得到的kV,kh,kd,Qd预测值与目标值对比如图4所示,采用决定系数R2作为评价指标,R2越趋近于1则预测值与目标值误差越小；采用线性回归方法表征预测值y与目标值T之间的相关性,即T=ay+b,a,b为回归系数,其中a越趋近于1，b越趋近于0，则相关性越强.

(a) 预测值与目标值

(b) 预测值与目标值

(c) 预测值与目标值

(d) 预测值与目标值

由图4可知,kV,kh,kd预测结果准确,决定系数均超过0.969 3,而Qd目标值处于[27,28]区间、预测值处于[25.5,30]区间波动；由表5可知,kV,kh,kd回归系数a均趋近于1且b均趋近于0,而Qd回归系数则较差.

表5 预测值与目标值线性回归系数、决定系数Table 5 Linear regression coefficient and determination coefficient of predicted value and target value

通过回归系数与决定系数可知,kV,kh,kd预测值与目标值较为接近,二者误差较小,而Qd预测值与目标值在极小范围内波动基本不随输入参数变化而变化,故对于本文中不改变铅芯直径参数的情况,可认为Qd不变,这与相关研究中屈服力主要与铅芯直径相关的结论保持一致[19].

综上所述,本文所构建的ANN非线性相关性模型训练结果较好,泛化能力较强,可利用该模型进行后续工作.

4 支座力学性能快速评估方法

利用已建立的ANN非线性相关性模型,即可实现支座力学性能快速评估.提取支座边长、高度、橡胶层数、钢板层数、单层橡胶厚度、单层钢板厚度、上封钢板厚度、下封钢板厚度等参数输入已建立的网络模型,即可快速输出kV,kh,kd预测结果.现对不同边长支座随机生成合理范围内的各参数输入ANN模型,其输出值与同参数下有限元分析得到的实际值对比见表6.

表6 支座力学特性快速评估结果与实测值对比Table 6 The results of rapid evaluation of bearing mechanical properties were compared with the measured values

由表6可知,采用ANN模型对支座力学特性的预测结果较为精确,与有限元计算结果偏差甚微,具有较好的泛化能力,且对于已训练完毕的ANN模型其预测速度快,输入参数——输出预测结果全过程仅需数秒,相较于有限元分析所需大量的建立模型与计算分析时间,其在快速评估支座力学特性方面具有强大优势,在支座设计选型、特性评估方面具有良好应用前景.

上述基于ANN的支座力学特性快速评估方法中,本文仅以等边长、同材料支座为例说明本文提出的快速评估方法的正确性与适用性,实际工作中可事先进行不同形状、不同材料支座的相关试验,丰富数据库后建立ANN模型加以训练与使用,即可对包含更广参数维度的支座力学性能进行快速评估.

5 支座参数寻优方法

在支座力学特性快速评估方法中,采用ANN模型实现了多对多预测,即根据9个维度的输入数据得到了4个维度的预测数据,而实际生产中,往往是根据结构恒载、活载确定支座性能指标,再调整几何参数以确保支座承载力与刚度,即先明确力学特性,再寻找最优结构参数.对于上述支座,其输入数据维度较小,可以通过编制程序遍历所有不同的输入数据组合,从而得到满足需求的支座参数组合,但实际中往往需考虑材料、形状、温度乃至湿度等多个因素,输入数据维度大幅提升,若仍遍历所有组合则对计算机硬件资源要求较高,计算代价过大.为此,根据上述问题的特点,考虑引入目标优化领域常用的粒子群算法(PSO),通过PSO-ANN方法实现多目标优化下的参数寻优.

5.1 标准PSO算法与自适应变异

标准PSO算法源于鸟群捕食行为的社会模型简化,在解空间中追随最优粒子进行搜索,通过位置、速度、适应度值表征粒子特征,粒子每更新一次位置则计算一次个体极值与群体极值并更新位置,同时,为避免粒子盲目搜索以及实际应用中粒子所代表的参数往往存在一定范围,一般对粒子位置与速度均设置约束区间.设粒子群规模为N,第j次迭代时第i个粒子位置为xij,个体极值为pij,其速度为Vij,群体极值为pgj,在标准PSO算法主要流程见图5,按以下规则更新粒子速度与位置[24]：

图5 PSO算法流程Fig.5 PSO algorithm flow

(7)

式中,c1,c2分别为个体学习因子与群体学习因子;r1,r2为区间[0,1]上的随机数；w为惯性权重.

标准PSO算法收敛速度快,适用性强,算法相对简单,需人工调整的超参数较少,适用于实值型数据的处理.但其仍存在收敛精度低、早熟收敛、后期迭代效率低等问题.为提高支座参数寻优效率,借鉴遗传算法中的变异思想,在标准PSO算法中引入变异操作,在粒子更新后以一定概率重新初始化粒子,对其在赋值空间内随机赋值.

5.2 适应度函数

对于粒子的每一次迭代,其当前值的“好坏”通过适应度函数进行评价,标准PSO算法主要针对单目标优化问题,其适应度函数值为一标量,粒子全局极值更新时只需取适应度函数最值即可.考虑到本文需进行多目标优化,则需引入能评价两个多维向量相近程度的函数作为适应度函数.借鉴传统ANN模型中随机梯度下降方法思维,采用MSE函数作为适应度函数,则当目标值T=[t1,t2,……tn],粒子群X=[x1,x2,……xm]时,其适应度函数f(X)为：

(8)

式中,Y=ANN(X)表示将X输入ANN计算得到预测值Y.

利用上述已建立的ANN相关性模型,将粒子向量作为输入数据,即可得到当前粒子下的ANN预测结果.

5.3 参数寻优

现假定需制造一批铅芯橡胶支座共10种型号,其性能与几何需满足表7所示条件,在PSO中依据表7指定橡胶层厚度与钢板层厚度等几何参数约束条件,以力学性能指标kV,kh,kd,Qd为适应度函数中的目标值T,设置种群粒子数为40,迭代次数为500,各个粒子维度数为9,速度更新参数c1，c2均为1.494 45,速度区间为[-1,1],个体区间根据粒子各个维度尺度不同分别设置.

表7 性能指标与几何约束条件Table 7 Performance indicators and geometric constraints

经迭代后PSO-ANN生成的铅芯橡胶支座最优参数与力学特性指标寻优值见表8,其与力学特性指标目标值误差百分比见图6.

结合表8、图6可知,通过PSO-ANN计算所得最优参数满足表7中对边长、橡胶层厚度、钢板厚度的约束条件,其余未进行约束的参数如支座高度、橡胶层数、钢板层数等均在合理范围内；寻优所得最优参数通过ANN计算所得的4项力学特性指标与目标值较为接近,最大正误差为10#支座,约13.8 %,最大负误差为5#支座,约9.1 %,其余性能指标均误差较小；四项力学特性指标kV,kh,kd,Qd中误差较小的为Qd,误差最大的为kd,kV除8#,10#支座误差略微偏大以外,其余误差均较为理想,kh误差则随支座类型不同均有一定波动.综上,采用PSO-ANN方法实现支座参数寻优是可行的.

表8 最优参数与最优参数下性能指标Table 8 Optimal parameters and performance indicators under optimal parameters

图6 性能指标寻优值与目标值误差Fig.6 Error between optimal value and target value of performance index

6 结论

本文针对当前铅芯橡胶支座评估、设计需求,考虑了多维度参数共同作用,提出了基于ANN的快速评估方法与参数寻优方法,主要研究结论如下：

(1) 针对铅芯橡胶支座主要力学特性指标kv,kh,kd,Qd,有限元方法模拟结果与试验基本一致,且有限元法中输入的支座特征参数与输出结果之间存在非线性关系,故可采用有限元方法快速生成不同参数组合下的数据集,以便于ANN非线性相关性模型进行训练.

(2) ANN模型能较好的拟合支座特征参数与支座力学特性之间的非线性关系,对于力学特性指标kv,kh,kd的目标值与预测值,其决定系数分别为0.998 4,0.978 2,0.969 3,而Qd由于其自身基本不随前述9类参数影响,故ANN拟合结果较差,但其不影响ANN模型用于支座力学特性快速评估与参数寻优的效果.

(3) 采用ANN模型能较好实现支座力学特性快速评估,预测值与目标值基本一致,具有计算精度高与耗时少的特点,同时如若能丰富数据集,采集更多维度的样本,则ANN模型的泛化能力与预测精度将进一步提高,在支座设计、力学性能评估领域发展前景广阔.

(4) 基于PSO-ANN的参数寻优方法可以根据力学特性指标与支座特征参数约束快速生成最优参数组合,极大程度降低了试验试错成本与事先计算成本,可为相关设计工作提供参考.