余国胜

[摘           要]  用四种不同的方法给出了一道代数题的解法，能够帮助学生进行发散性思维，加深对所学知识的理解和运用，达到触类旁通、举一反三的目的.

[关    键   词]  上三角形矩阵;逆矩阵;一题多解

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603（2021）36-0158-02

本文讨论一道代数题：上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.运用四种不同的方法证明这样的结论，启发学生在寻找不同解法的过程中深化对书本知识的理解和认识.通过一题多解，可以提高学生对所学知识的领悟力，有效激发学生的发散性思维，提升综合解决问题的能力.具体来说：B=（bij）是上三角形矩阵，设C=（cij）是它的逆矩阵，则C是上三角形矩阵.

一、四种不同的证明

方法1.直接按定义求

考查BC=E的第j列的第j+1，j+2，...n个元素，则有

bj+1，1c1j+bj+1，2c2j+…+bj+1，jcjj+bj+1，j+1cj+1，j+bj+1，j+2cj+2，j+…+bj+1，ncnj=0，

bj+2，1c1j+bj+2，2c2j+…+bj+2，j+1cj+1，j+bj+2，j+2cj+2，j+…+bj+2，ncnj=0，

…

bn-1，1c1j+bn-1，2c2j+…+bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=0，

bn1c1j+bn2c2j+…+bn，n-1cn-1，j+bnncn，j=0.

由于i>j时，bij=0，即bnj=…=bj+1，j=0.故有

bj+1，j+1cj+1，j+bj+1，j+2cj+2，j+…+bj+1，n-1cn-1，j+bj+1，ncnj=0，

bj+2，j+2cj+2，j+…+bj+2，n-1cn-1，j+bj+2，ncnj=0，

…

bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=0，

bnncn，j=0.

B是可逆的上三角形矩阵，B=b11b22…bnn≠0.所以bii≠0，i=1，2，…，n.要证明C是上三角形矩阵，只需验证任意j

bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=bn-1，n-1cn-1，j=0.

由bn-1，n-1≠0得cn-1，j=0.这样从后面式子到前面式子可依次推出

cnj=cn-1，j=…=cj+1，j=0.

所以对任意i>j，有cij=0，即C是上三角形矩阵，后面的三种方法都需要借助下面的引理：

引理：两个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵.

证明：设B=（bij），C=（cij）均为上三角形矩阵，即当i>j时有bij=cij=0，令A=BC=（aij），证明当i>j时有aij=0.

aij=bi1c1j+bi2c2j+…+bi，i-1ci-1，j+biicij+…+bincnj.

它的前i-1项中有

bi1=bi2=…=bi，i-1=0.

而后面的项中有cij=…=cnj=0，因此它的每一项皆为零，故当i>j时有aij=0.

方法2.用分块运算和数学归纳法证明

对n作数学归纳法，n-1显然成立.设对于n-1阶上三角形矩阵的逆矩阵结论成立，对n阶上三角形矩阵B来证明它的逆也是上三角形的，将B写成如下的分块矩阵：

B=b11 β0  B1，

其中b11≠0，B1是n-1阶上三角形可逆矩阵，由归纳假设，B1-1仍是上三角形的.作如下乘积

b11-1  0 0   B1-1b11  β 0  B1=1 b11-1β0 En-1，

1 -b11-1β0  En-11 b11-1β0 En-1=1  00 En-1=En，

于是

B-1=1 -b11-1β0  En-1b11-1  0 0   B1-1.

上面兩个矩阵皆为上三角形矩阵，根据引理，B1-1仍是上三角形的.

方法3.用线性变换的思想

由于B是上三角形可逆矩阵，则b11≠0，则可以通过若干次初等列变换使得

b12=b13=…=b1n=0.

初等列变换相当于右乘了一个上三角形初等矩阵.此时所得矩阵b22≠0，则可以通过若干次初等列变换使得

b23=b24=…=b2n=0.

…

依次类推通过一系列初等列变换可以把A变为对角矩阵，最终变为单位矩阵，由引理，B-1仍是上三角形的.

方法4.用哈密顿-凯莱定理

设B是一个上三角形可逆矩阵，f（λ）=λE-B是B的特征多项式，则

f（B）=Bn-（b11+b22+…+bnn）Bn-1+…+bB+（-1）nBE=0.

即B（Bn-1-（b11+b22+…+bnn）Bn-2+…+bE）=（-1）n+1BE.

由于B≠0，再根据引理

B-1=（Bn-1-（b11+b22+…+bnn）Bn-2+…+bE）.

二、结论

本文从定义、数学归纳法、线性变换和哈密顿-凯莱定理证明了上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.由此可见，掌握一题多解有助于线性代数的概念的理解和运用.因此，教师在线性代数教学中，应该有针对性地对学生进行一题多解的专项训练.

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]高云峰，杨丽娟.线性代数[M].上海：同济大学出版社，2015.

[4]王侃民.线性代数[M].上海：同济大学出版社，2005.

◎编辑 鲁翠红