李文娟

摘要 ：数值最大问题不仅是高中数学教育的重点，也是大学入学考试中出现频率较高的重要考试点之一，但在其实际授课中，面临着授课时间少、类型多、知识难、方法繁杂等问题。许多高中生对最有价值的问题类型缺乏全面认识，无法灵活地使用该方法解决问题。本文通过高中数学应用题中最值问题的解题步骤、与圆有关最值问题、与二次函数有关最值问题、不等式中最值问题、与几何模型有关最值问题、与概率统计有关最值问题等方面进行探析高中数学应用题中的最值问题。

关键词 ：高中数学;应用题;最值问题

中图分类号：G633.6;G434  文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2021）16-069

研究表明，在实际的教学过程中，学生对高中数学应用题中的最值解析兴趣缺乏、得分点掌握不明、应用题解法存在误区;此时，教师应在课堂教学中予以重点指导，注重启发与探究双管齐下，发挥教师课堂导学者的功能，以学生为主体，传授知识的同时也要让学生感受到数学文化，将思想渗透到教学中去，发散思维，研究多种解题思路，有效地提升学习成绩。本文将从高中数学应用题中最值问题的解题步骤、与圆有关最值问题、与二次函数有关最值问题、不等式中最值问题、与几何模型有关最值问题、与概率统计有关最值問题等方面来探析高中数学应用题中的最值问题。

一、高中数学应用题中最值问题的解题步骤

1.审题

审题是高中数学应用题中最值问题解题步骤的第一步。审题是解决最值问题的开端也是必要的关键点。高中数学应用题的题目大多都很复杂，文字内容较多，高中学生在解题时一定要认真审题，不要读错题目的含义，要明确题目中的已知条件、已知结论以及所有数字之间的联系。教师在平时可以通过一些方法来培养学生的审题能力，例如“引导高中学生多进行课外阅读，提高学生的阅读能力和对文字信息的敏感程度”“在平时的高中数学的教学中，带领学生熟悉了解数学模型，如一次函数模型、指数函数模型以及三角函数模型等”等，通过这些方法都能够提高学生的审题能力，让学生在做题时能够更加轻松和快捷。

2.构建数学模型

构建数学模型是高中数学应用题中最值问题解题步骤的第二步。构建数学模型可以更直观地将数学问题中的文字题目转化为数学语言，让学生能够看到更加明显和直观。对数学模型的正确构建与否很大程度地影响了解决数学应用问题的顺利程度和成功与否，对中数学应用题中的最值问题来说是至关重要的。数学模型包含有概念、公式、符号以及方法等，是一种可以很好的数学结构。在解决高中数学应用题中最值问题时，可以先找到所有数字之间的联系，观察这些联系和哪一个数学模型贴合，从而准确地进行数学模型的构建。

3.求解

求解是高中数学应用题中的最值问题解题步骤的第三步。在进行了对数学模型的成功构建之后，需要对问题进行求解，从而顺利地解决这个应用问题。在进行求解时，要重视理解数学模型中的各个数字的具体含义，从而选择最合适实用的解题过程。教师在平时的教学中要重视培养高中学生的变化和转换代数式的能力，做到更灵活地运用自身的变形推理，更加成功地解决高中数学应用题中的最值问题。

4.还原

还原是高中数学应用题中的最值问题解题步骤的第四步。通过审题、构建数学模型、求解之后会得到一个数学结论，通过对这个数学结论进行还原，可以得到解决现实生活中实际问题的方法和结论，真正地达到运用高中数学知识来解决生活问题的目的，提高高中数学的生活化，将高中数学知识融入生活。

二、与圆有关最值问题的探析

在教授与圆有关的最值问题时，教师往往面临知识困难，方法复杂，种类多，等问题。首先，教师应制定符合学习的指导案例，培养学生的主动学习意识。学生可以提前复习既往知识。通过为问题设置各种方式，可以引导学生自主探索相关问题的概念、解法等。然后，教师应正确设置教学时数分布和对接所对应的定向案例。教师对这些方法进行分析总结，逐步进行设计和组织教学，这样更有利于学生的理解。例如，人教版高中必修中《与圆有关的最值问题》教学中，形如μ=（y-b）/（x-a）型的最值问题，可转化过定点（a，b）的动直线斜率的最值问题求解。典型例题如下：

已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0，求y/x的最大值。在这种最值题型之后中，教师首先应提出启发性问题提问，“原方程可以转化为我们熟悉的哪种形式？”在教师的启发之下，学生会进入已有知识的思索，在思索过程中建立自己的知识建构。

学生1：“原方程可化为（x-2）2+y2=3，y/x也就是我们曾经学过的圆上的动直线的斜率，因此，y/x就是求（2，0）为圆心， 3 为半径的圆的斜率问题。”这样的启发性问题之下，原题就从抽象的方程式转化为学生熟悉的圆的斜率的问题。

三、与二次函数有关最值问题的探析

21世纪正处在互联网迅速发展的信息时代，网络在线平台和多媒体技术的新型教育模式被运用到中学数学课堂之上，个性化的学习环境为学生提供自主学习和小组学习的时间和机会，适时因材施教，引导学生自主学习，课堂表现非常好。例如，人教版高一数学中《二次函数的基本性质》最值问题的教学中，二次函数是高中学习的重要基础，重难点是：了解并会处理二次函数含参数的最值问题。因此，教师可采取分组讨论结合信息化设备进行数形结合的演示来阐释解题思路。例如，一已知函数y=-x2-2x+3且x∈[0，2]，求函数的最值？教师可先令学生分组讨论，然后由数学课代表组织观看网络教学视频，分小组讨论，先进行小组内讨论，进而进行组间谈论，由课代表并将重难点反馈给教师，教师根据问题在课堂上予以解决。并以小组为单位画出函数的坐标图，然后在多媒体上展示正确的图示。解析如下：y=-x2-2x+3=-（x-1）2+4，因为x∈[0，2]，绘图如图一所示：则ymax=f（0）=3，ymin=f（2）=-5。在求最值时，也可以看所给区间与对称轴的距离远近。开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小;开口向下的二次函数，离对称轴越近，函数值越大。

在课堂上配置预习方案，分小组完成预习内容，通过讨论解决了大部分的计算问题，在课堂上通过学生展示教师发现预习中存在的问题，在课堂上及时纠正，学生理解本节课堂的重点难点也变得容易多了。

四、不等式中最值问题的探析

有关于证明不等式的对称型或者轮换型不等式的最值问题，常见于选择填空中，在实际的教学之中，发现学生对此类问题的第一反应是直接套用已有解题经验，这是解题中的一大误区，这样的误区要及时地在课堂之中进行解决，要让学生养成认真审题，而不是在解题中“投机取巧”。例如，在使用不等式的问题“如果实数x和y满足x2+y2+xy=1时找到x+y的最大值”中，获得最大值的条件是内部元素相等。在不对称不等式中，出现了ma=nb的情况，其中a，b是不等式的元素，m，n是系数，尤其是在对称旋转不等式中，值相等的条件是两个元素相同，但不是绝对的。特别是在有限的条件下，当等式一侧的常数与不等式的最大值不同时，可能无法获得最大值。在上一个问题中，其中的x和y可以旋转，并且可以通过设置x=y以获得x+y的最大值来获得x+y的最大值。

五、与几何模型有关最值问题的探析

与几何模型有关的最值问题一般都是光的折射、桥梁设计以及人造卫星等，这种类型的问题一般都是通过先建立直角坐标系，再解决实际问题的程序来解决，既需要利用关于面积、体积以及空间问题等的数学知识，也需要利用关于三角函数的知识结合起来进行解决。

例如，人造卫星A与地球地面的电视信号B的傳播方式是直线形式，其中电视信号能够达到的地球区域被叫做卫星覆盖区域。卫星A距离地球表面约36 000千米，地球的半径为6400千米，在卫星覆盖区域之中取任意两个点，求这两个点之间的球面最大距离为多少？想要解决这个关于几何模型的最值问题，就需要先建立直角坐标系，再使用关于面积、体积以及空间问题等的数学知识和三角函数的知识结合起来解决问题。

六、与概率统计有关最值问题的探析

解决与概率统计有关的最值问题时需要学生拥有关于随机变量、概率、抽样以及频率分布的知识来解决问题，在进行解题时，要认真理解题目中给出的已知条件，结合自己掌握的几何知识，选择合理的解题方式。概率统计类的最值问题，既具有十分复杂的特质，也具有比较广泛的覆盖程度，但是其解题方式和普通应用题的解题方式比较类似，在解题时要十分地认真的审题和思考，避免出现错误和纰漏。

例如，某农户对一块田地的N个坑进行播种，每一个坑播种三个种子，每个种子的发芽概率都为二分之一，并且每一个种子是否发芽都是相互独立的。对每一个坑来说，如果至少会有两个种子发芽，则不需要进行补充播种;反之，则需要进行补充播种。试问，当播种多少时，有三个坑需要补充播种的概率才为最大？当解决这个问题时，要认真审题，理解题目中给出的已知条件，找到数字之间的联系，构建数学模型，结合数学知识找到最合适的解题方法，从而能够顺利地解决这个问题。

综上所述，本文对高中数学应用题中最值问题的解题步骤、与圆有关的最值、与二次函数有关的最值、不等式中的最值、与几何模型有关的最值、与概率统计有关的最值等问题进行了探析，得出了一些有效的观念。在高中最值问题的教学过程中，教师应加强素质教育理念，以全面发展教育为导向，为了更好地实施优化课堂结构的方案，应把突出数学主线作为发展的前提，重视数学思想方法的培养，让学生学会知识的迁移。高中数学中的最值问题通常都是以综合题型出现的，这就对学生的解题能力提出了更高要求，也为教师的教学指明方向。在最值问题的教学上要从教学的整体出发，发展学生数学解题全局观，培养良好的数学思维和总结归纳能力。

参考文献：

[1] 向克民.翻转课堂模式在高中最值问题教学中的运用[J].考试与评价，2021（2）：81.

[2]曹锋.高中数学最值问题题型与解法未探[J].数学大世界（下旬），2020（12）：13.

（作者单位：甘肃省天水市甘谷第一中学，甘肃 天水 741200）