狄迈 余庆纯 汪晓勤

【摘 要】一个数学主题背后的历史往往揭示了历史上数学家对该主题的探究过程，为教师设计探究活动提供了参照。HPM工作室学员以及来自上海不同学校的两位数学教师分别设计了“圆的周长”的教学。他们都基于数学史设计了圆周率的探究活动，但数学史的运用方式互不相同，各具特色。

【关键词】数学史;探究活动;圆的周长;圆周率

【作者简介】狄迈，华东师范大学教师教育学院在读硕士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）

一、引言

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）曾指出，数学学习应该是有指导的再创造的过程。要实现“再创造”，教师在课堂上需要设计探究活动，让学生经历知识的发生、发展过程或数学思想方法的运用过程。一个数学主题背后的历史往往揭示了历史上数学家对该主题的探究过程，为教师设计探究活动提供了参照[1]。当代许多西方HPM学者，如福韦尔（J.Fauvel）、詹克韦斯特（U.Jankvist）等，均指出数学史为学生提供了探究机会[2]。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求，学生通过操作，了解圆的周长与直径之比为定值，掌握圆的周长公式[3]。圆周率作为“圆的周长”主题中的重要内容，是引导学生实现从有限到无限跨越的重要知识载体，因而其教学一直受到人们的重视。考虑到六年级学生的认知水平，圆周率的探究式教学不可能完全采用演绎几何的方式，而只能定位在实验几何与演绎几何之间。

历史上，古希腊数学家安提丰（Antiphon）首次提出用圆内接正多边形面积来逼近圆面积的思想。公元前3世纪，阿基米德（Archimedes）运用同样的思想，通过依次求出圆内接和外切正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形和正九十六边形的周长，获得圆周率的不足和过剩近似分数[4]，即22371<π<227。公元3世纪，中国数学家刘徽利用割圆术，计算出圆内接正一百九十二边形的面积，得到圆周率的近似值为15750。公元5世纪，中国魏晋时期数学家祖冲之求得圆周率的两个近似分数，第一个分数称为“约率”，即阿基米德的227，第二个分数称为“密率”，即355113，这是祖冲之首创的。据推测，祖冲之可能是用天文学家何承天的“调日法”得到上述两个分数[5]。

阿基米德和刘徽的正多边形逼近方法，以及祖冲之的圆周率近似分数求法为来自上海市两所不同初级中学的教师A和教师B的教学设计提供了参照。基于HPM的视角设计的“圆的周长”的教学，教师A拟订的教学目标如下。

（1）在“观察—猜想—实验—归纳—验证”过程中，探索出圆周长C与直径d的关系，归纳圆的周长公式，并学会运用圆的周长公式进行简单计算。

（2）在实验操作中，体验“化曲为直”“以直代曲”的数学方法;在运用“调日法”计算圆周率的过程中，感悟“无限逼近”的数学思想。

（3）在探索过程中增强学生合作、交流的意識;了解中国古代数学家的事迹，增加学生的文化自信。

教师B拟订的教学目标如下。

（1）经历操作、归纳与合情推理的过程，探究圆周长与直径的数量关系，得出圆的周长公式，掌握数学学习过程中“操作—猜想—归纳—推理”的研究方法。

（2）在测量折纸等操作实验中，感悟与掌握“以直代曲”“无限逼近”的数学思想，同时通过几何画板等技术手段的逼近过程，理解圆周率的数值及其数学本质。

（3）深刻领会古代数学家在求圆周率过程中所运用的数学思想方法，感受数学家坚韧不拔的钻研精神与一丝不苟的严谨态度，品味多彩的数学文化。

二、教学过程

表1概括了教师A和教师B的教学过程。由表1可知，两位教师均从数学外部引出课题，基于数学史，从“正多边形的逼近”“圆周率近似值的探求”两方面设计探究活动。

在“正多边形的逼近”活动中，教师A由飞镖盘教具演示，重现阿基米德内接正多边形的穷竭过程，引导学生体会“无限逼近”与“以直代曲”的数学思想;教师B则引导学生通过不断对折、剪裁圆形纸片，感受“以直代曲”的思想，进一步通过展开纸片，观察折痕，体会“无限逼近”的数学思想方法。

在“圆周率近似值的探求”活动中，教师A引导学生结合数轴，运用“调日法”，由有理数不断逼近圆周率，达成对圆周率这一无理数的深刻理解;教师B通过测量正多边形周长，计算其与直径的比值，得出圆周率的范围，并通过几何画板等技术手段呈现更精确的数值，在此过程中让学生再次感受“无限逼近”的思想。

三、圆周率探究活动

为更好地进行教学研究，以下是两位教师圆周率探究活动的教学片段。

（一）正多边形的逼近

【教师A的教学片段1：飞镖盘模型】

师：古希腊数学家阿基米德通过“穷竭法”，运用“无限逼近”的思想得出了圆周率的近似值，他是怎么做的呢？老师通过飞镖盘给大家简单演示一下。首先，在直径为2的圆周上选取六个点，将圆周六等分，连接各个点得到一个正六边形。此时正六边形的周长等于6。现在这个正六边形的周长与其直径的比值是多少？

生：3。

师：它能代替圆周率的值吗？

生：不能。

师：为什么？

生：差得太多了。

师：没错。阿基米德也觉得这样不行，于是他又继续分割，这样能够得到正几边形？（如图1）

生：正十二边形。

师：这样求出的比值会怎么样？

生：更接近圆周率的值。

师：是的。但是阿基米德还是不满意，就继续分割成正二十四边形，正四十八边形……这体现了什么思想？

生：体现了“无限逼近”的思想。

【教师B的教学片段1：剪纸】

师：请同学们拿出课前发的圆形纸片，通过不断对折、剪裁，得到一个正多边形[HTSS]（教师示范对折两次纸片并加以剪裁的效果，如图2）。

师：请问得到的是什么图形呢？

生：正方形。

师：很好。接下来请同学们增加对折的次数，并加以剪裁，看看能得到什么图形？

生：对折三次，得到了正八边形，四次后得到正十六边形……

师：（在黑板上展示学生探究所得的不同形状的纸片）请仔细观察，随着对折次数的增加，你能发现什么规律？

生：对折次数越多，剪裁后的纸片就越像圆。

师：没错。因为操作折纸的对折次数是有限的，下面通过几何画板演示，观察一下当对折次数逐渐增加时，所裁剪的正多边形的变化。

师：当正多边形的边数无限增加时，还能看到正多边形吗？

生：看不到了。

师：不错。当圆的内接正多边形的边数无限增加时，可以看到正多边形的周长无限趋近于圆的周长，此时圆的周长即近似为正无限边形的周长。用多边形的每一条边近似取代它们所对的弧，在数学上我们把这种思想叫作“以直代曲”。

（二）圆周率近似值的探求

【教师A的教学片段2：“调日法”】

师：我国著名数学家祖冲之将圆周率的值计算到了在3.1415926与3.1415927之间，但是他的伟大不仅仅局限于进一步计算出圆周率的近似值，而是发现了用圆周率的小数形式计算圆的周长很麻烦，于是通过探索发现了“约率”227与“密率”355113，他是如何探索出来的呢？

师：其实该方法现在还在使用，这就是“调日法”（教师介绍“调日法”的计算，考虑用“调日法”逼近π。）。

师：为什么一开始的范围是31<π<41？

生：π的取值在3和4之间。

师：是的。实际上古人是从几何方面来看的。当在圆内接正六边形时，根据其周长与直径关系，得到圆周率π大于3;当外切正方形时，得到圆周率π小于4。请问谁来介绍一下41<72<31是如何探究出来的？（如图3）

生1：将31与41的分母与分子分别相加，得到41<72<31。

师：很好。那么数轴上41与72哪个数更逼近π？

生：72。

师：根据数轴的“逼近”，应该舍弃哪个数呢？

生：舍弃41。

师：很好，下面我们继续探究。

【教师B的教学片段2：测量与几何画板】

师：通过刚刚的探索，知道当圆内接正多边形边数无限增加时，正无限多边形的周长便是圆的周长。由此，可以通过正多边形与直径的比值来求解圆周率的值吗？

生：可以。

师：下面请同学们测量手中圆形纸片内接正方形、正八边形与正十二边形的周长，计算它们与圆直径之间的比值，并请每个小组分享一下你们的发现。

生：计算出来的多边形周长与直径的比值与3.14相差比较大。

师：为什么？

生1：因为在测量过程中存在一定的误差。

生2：但是计算的数值是介于3与4之间。

师：是的。由于测量误差，计算得出的圆周长与直径的比值与3.14有一定的距离，但是它们均介于3与4之间。接下来，通过几何画板客观精确地感受当正多边形边数增加时，其周长与直径比值之间的关系。（如图4）

师：大家观察到了什么？

生：当圆的内接正多边形边数无限增加时，其周长与直径的比值越接近圆周率的实际值。

师：实际上，在公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德利用“穷竭法”使内接正多边形与外切正多边形共同逼近，推求圆的周长进而得到圆周率π的近似值。其通过圆的内接与外切正多边形，当正多边形的边数n无限增加时，两个正多边形的周长都会无限接近圆的周长，以此探求圆的周长与圆周率的值。（如图5）

四、圆周率探究活动评析

由以上分析可知，两位教师均解析了圆周率的相关历史，提炼其发展过程中的重要思想，并基于此设计数学探究活动。现对教师A和教师B在两个数学探究活动中所运用的数学史及其方式进行分析（見表2）。

教师A顺应式地运用阿基米德的“穷竭法”，以飞镖盘模拟圆内接正多边形的分割过程，重现“无限逼近”“以直代曲”的数学思想方法;同时，顺应式地运用何承天的“调日法”，引导学生用有理数逼近圆周率，促进对π这一无理数的深入了解。在此过程中，教师A忽略了阿基米德“穷竭法”的外切正多边形这一方面，使该方法在课堂上没有完整地呈现。由此可见，教师A基于圆周率发展史上两个重要阶段——阿基米德“穷竭法”的几何逼近与何承天“调日法”的数值逼近，顺应式地设计了相应的探究活动，引导学生完成对圆周率由几何和数值两方面的逼近，渗透“无限逼近”的数学思想，达成了本节课的教学目标。

对于课后学习单中问题“通过这节课的学习，你能否解释‘地球是圆的，但是我们感觉自己是行走在平地上，而不是球面上的现象”，大多学生这样解释：由于地球太大了，因此我们行走的弧可以看成直线。这反映出学生对“无限逼近”与“以直代曲”思想的深刻理解，能够运用掌握的数学知识解释现实现象，解决实际问题，这也从侧面反映出教学目标的达成。

另一方面，教师B借鉴阿基米德“穷竭法”，运用顺应式，将两个探究活动有机地连接在一起，进而渗透“无限逼近”的思想。第一阶段的剪纸活动引导学生自己动手操作，在剪裁过程中体会“以直代曲”思想，通过制作的正多边形与圆的比较，感受“无限逼近”的过程与思想，在操作与思维的交互过程中与古人对话;第二阶段通过测量与计算，得到圆周率的范围在3～4之间，学生在得到与自己心目中相差甚远的答案时实事求是，体现了数学研究过程中的求真意识，达成德育之效[6]。借助几何画板呈现数值，使学生在几何与数值方面体会了“无限逼近”的过程。

在课后的反馈中，部分学生对由“无限逼近”得到的错误结论“π=4”的原因进行了思考与阐述。可见，通过探究活动，教师B的学生对“无限逼近”与“以直代曲”有了新的思考，并能对其进行拓展与延伸，达成了教师B提出的“感悟与掌握‘以直代曲‘无限逼近的数学思想”的教学目标。

综上所述，两位教师均基于圆周率发展的“几何逼近”与“数值逼近”两个方面，开展教学实践;但从融入的方式来看，两位教师均采用了顺应式而非重构式，即将历史上探究圆周率的方法作为参照设计探究活动，进行古今对照。

五、教学启示

对两位教师设计的基于数学史的圆周率探究活动进行分析，可为今后HPM视角下探究式教学提供以下启示。

（1）加强历史研究，提升专业知识。由上文可知，两位教师均未采用重构的方法融入数学史，且在圆周率的探究活动上缺乏基本的发生动因。究其原因是由于教师对圆周率的历史发展并未深入了解，也未将其作为参照来开展探究性教学。因此，一线教师要加强历史研究，解析数学史料，提升数学专业知识;同时基于教学实践，提升教学内容，促进数学史自然地融入数学教学。

（2）融入信息技术，优化数学教学。在教师B的课堂中，通过对制作的正多边形的周长进行测量，对周长与直径的比值进行计算，得出圆周率的范围，之后再通过几何画板的演示，让学生更加精确地感受圆周率的数值，并在此逼近过程中渗透“无限逼近”与“以直代曲”的思想，引导学生感受知识源流，品味古今数学文化，达成相应的教学目标。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等，译.上海：上海教育出版社，1995.

[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[3]中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]汪晓勤，赵红琴.阿基米德与圆周率[J].数学教学，2004（1）：40-41，39.

[5]曲安京.祖冲之是如何得到圆周率π=355/113的？[J].自然辩证法通讯，2002（3）：72-77，96.

[6]张冰，蔡春梦，雷沛瑶.HPM视角下的指数函数概念教学设计研究[J].中小学课堂教学研究，2021（6）：5-10.

（责任编辑：陆顺演）