曹相波

（大理州实验中学数学组 云南大理 671099）

一、问题引入

在解三角形中，我们经常会碰到已知对边对角求关于另两边的关系式的最值或取值范围问题，比如求面积或周长的取值范围。对于这类题，一般结合基本不等式可以解决，但利用不等式只能解决最大值问题，而最小值方向就需要其它知识解决，另外，如果当另两边前的系数不相等时的线性关系式求最值就不能简单解决。

又△ABC中，a+c＞b=2 ∴2＜a+c≤4 ∴l=b+a+c=2+a+c∈（4，6］

从上例的解法，能看出基本不等式在求最大值方向问题不大，但对于求最小值方向就存在麻烦，需要结合其它隐含条件，比如，在求周长最小值方向时，需要考虑在三角形中两边之和大于第三边这一隐含条件。那有没有能直接求出最大和最小两个方向的值呢？

二、问题探究

当然，在解三角形中，很多同学是正弦定理或余弦定理轮换使用来寻求解题方法，下面我们就用正弦定理尝试一下。

解：由正弦定理可得：

【注：三角函数中利用公式化简是高中数学的基础，中间过程就留给读者自行解决，以下也是如此】

从以上方法中可以看出，用正弦定理转化到用角表示边长之后，求三角形面积或周长问题就化归到三角函数求最值问题上来，并且最大和最小方向的值都可以直接算出来。

三、问题变式

当然，有些时候题目条件可能会加强。比如在其它条件不变的情况下，将△ABC限定为锐角三角形时，求其面积S和周长l的取值范围。锐角三角形这一条件的运用往往考虑最大角是锐角。……