(西北工业大学 航宇材料结构一体化设计与增材制造装备技术国际联合研究中心，陕西省空天结构技术重点实验室，西安 710072)

1 引 言

循环对称结构是一类在极坐标系下沿圆周方向循环对称的特殊周期结构，如图1(a)所示的夹芯点阵薄壁圆筒结构，其轻量化高性能设计在航空航天与机械领域具有重要应用价值。同时，这类结构也广泛存在于骨骼和植物等自然界生物材料中[1-3]。然而，过去几十年建立的结构多尺度优化方法主要针对笛卡尔坐标系下周期结构，如图1(b)所示的夹芯点阵平板结构。其特点为所有点阵微结构单胞均为矩形单胞，可由某一单胞经几何平移操作获得。因此，所有单胞微结构均可假设具有相同的等效力学性能，并通过均匀化方法计算结构的宏观力学响应。由此可见，均匀化方法不仅是计算单胞微结构等效力学性能的关键步骤，也是关联微结构与宏观性能和实现多尺度优化的桥梁。目前，基于微结构均匀化方法，相继发展了固体各向同性惩罚方法(SIMP)[4,5]、渐进结构优化方法(ESO)[6,7]和水平集方法(LSM)[8]等微结构拓扑优化方法，同时也促进了功能梯度材料以及考虑尺度效应的微结构多目标优化与拓扑优化研究[9-12]。

图1 夹芯点阵

本文研究的循环对称结构多尺度拓扑优化问题具有一定的代表性。与平移周期结构相比，可以发现当循环对称结构的半径趋于无穷大时，该结构退化为平移周期结构。因此，如何建立循环对称结构的多尺度优化方法，从理论上实现两类周期结构的有机统一，不仅具有重要的工程应用价值，也是本文的科学意义所在。……