■姜鸿雁

CPFS结构 数学概念 整体性 数学抽象 探究能力

CPFS结构是2003年喻平教授在数学知识分类、数学知识表征的基础上提出的原创性理论。笔者在学习该理论及相关系列成果之后，结合自身的思考，大胆实践，现以一节“二次函数”概念课为例，将备课时的思考、教学设计、课后反思及学生的反馈与同仁分享，期待批评指正。

一、CPFS结构理论及理论指导下的备课思考

1.CPFS结构的含义。

概念域（concept field）、概念系（concept sys⁃tem）、命题域（proposition field）、命题系（proposi⁃tion system）构成的结构被称为CPFS结构。CPFS结构的含义包含：（1）个体头脑中内化的数学知识网络，各知识点（概念、命题）在这个网络中处于一定的位置，知识点之间具有等值抽象关系，或强抽象关系，或弱抽象关系，或广义抽象关系；（2）正是由于网络中知识点之间具有某种抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴藏着思维方法，因而网络中各知识点之间的联结包含着数学方法，即“连线集”为一个“方法系统”；（3）数学学习中特有的认知结构，是个体头脑中内化的、合乎数学逻辑特征的知识结构。

在《数学学习心理的CPFS结构理论》一文中，喻平教授以“等差数列”和“距离”两个概念为例，说明了数学概念的3个特征：（1）对同一个概念，可以从不同的侧面或选择不同的角度去刻画，即可以采用彼此等价的一组定义去描述同一个概念；（2）概念具有发展性，在不同背景下可以赋予一个概念新的意义；（3）数学概念不是孤立的，定义一个新概念往往要用到诸多的旧概念，概念之间存在弱抽象、强抽象或广义抽象的关系。……