陆海峰，曹嘉琨，郭晓镭，刘海峰

（华东理工大学上海煤气化工程技术研究中心，上海 200237）

引 言

料仓下料是工业环节中的重要操作单元，受限于粉体性质和流动过程的复杂性，下料过程中粉体的流动及颗粒质量流率预测一直是粉体下料研究中的难点[1-5]。近年来众多学者围绕颗粒下料流率预测开展大量工作。Beverloo方程[6]是应用最广泛的颗粒下料流率预测模型，但是该模型适用于平底筒仓和粗颗粒，在细颗粒粉体的流率预测上并不具备良好的适应性。Weir[7]将Beverloo方程推广到锥形料仓内的下料过程，但仍然只适用于粒径较大的非黏性颗粒体系。Barletta等[8]发现，细颗粒下料时在料斗出口附近会产生负压力梯度，通过引入气压梯度项修正了传统的粉体下料预测模型。但压力梯度的获得依赖于对料仓出口附近气相压力的高精度测量，实际操作中具有一定难度。Datta等[9]利用离散元方法(DEM)研究料仓中的颗粒流动，通过对每个颗粒的位置和速度跟踪分析，发现传统Beverloo方程在粉体受限流动条件下无法精确预测下料流率。Brown[10]根据能量最小理论在Beverloo方程的基础上添加了对锥形料仓半锥角的修正，建立的Brown and Richards模型降低了预测误差。但这一模型在描述细颗粒粉体流动时仍然存在局限性，表现为流率预测值偏大。Lu等[11]认为颗粒间作用力是导致粉体下料的差异性的重要原因，通过测量颗粒粗糙度对颗粒间作用力进行有效校正。对文献分析表明，Brown and Richards模型是目前描述粉体料仓下料最常用的模型之一，但由于未能充分考虑细颗粒之间的强相互作用，导致模型预测值偏高。如何正确获得颗粒间作用力并有效引入传统流率预测模型，关于这方面的报道较少。

鉴于此，本文一方面采用剪切测试结合摩尔应力圆理论获得床层拉伸应力，继而通过Rumpf方程获得颗粒间作用力，规避了颗粒间作用力测量困难这一难题；另一方面，引入Bond数对粉体床层空隙率进行修正，从而建立了耦合颗粒间作用力的粉体流率预测模型。为实现上述构想，本文以不同粒径的玻璃微珠(gb)、流化床裂化催化剂颗粒(fcc)、褐煤(lignite)和聚氯乙烯颗粒(pvc)作为实验物料开展粉体物性、流动性表征及重力下料实验，以揭示细颗粒粉体流动的基本特性，并将获得的关键参数用于建模分析。

1 实验物料及装置

1.1 实验物料

本实验选取不同粒径的玻璃微珠颗粒(gb-a、gb-b、gb-c)、流 化 床 裂 化 催 化 剂 颗 粒(fcc)、褐 煤(lignite)和聚氯乙烯颗粒(pvc)作为实验物料。实验前对物料做干燥处理，利用红外水分测试仪(Sartorius MA150)测量干燥后的物料水分均在0.5%以下，从而忽略了水分对粉体流动的影响。借助马尔文激光粒度仪(Malvern 2000)对样品的粒径大小与分布进行测试，结果如图1所示。

图1 粒径累积分布Fig.1 Cumulative particle size distribution

表1给出实验物料的物性参数，包括粉体表面积平均粒径(dsv)、体积平均粒径(d43)、分布宽度Span指数、堆积密度(ρb)和颗粒密度(ρp)。由表可见，全部样品的平均粒径都在150μm以下，特别是玻璃微珠和流化床裂化催化剂颗粒粒径小于100μm。对于这种细颗粒粉体，颗粒间相互作用明显，对粉体流动具有显著影响。从物料的d10、d50及d90可以看出gb-c、lignite和pvc含有较多粗颗粒。

表1 实验物料物性参数Table 1 Physical properties of experimental materials

1.2 实验装置

本文借助FT4粉体流变仪(Freeman Technology Corporation)的环剪单元开展粉体剪切测试。借助实验室自主搭建的粉体料仓下料平台开展下料实验。下料实验装置如图2所示，由锥形有机玻璃料仓、支架、电子秤、计算机、斜槽和接料盘组成。有机玻璃料仓的半锥角为30°，出口直径为13 mm。有机料斗内壁面光滑，料斗材质对粉体流动性的影响可忽略不计。实验前先向料仓内填入指定质量的物料，然后打开料仓出口的滑动阀，仓内物料沿斜槽滑落到接料盘中完成下料，连接计算机的电子秤实时采集整个下料过程中料仓内粉体质量值。电子秤量程和精度分别为15 kg和0.1 g，采样频率为8 Hz。根据离散点绘制的下料曲线计算得到物料的质量流率。

图2 下料实验装置Fig.2 Discharging device

2 实验结果

2.1 粉体流动性表征

FT4的环剪测试是基于Jenike理论发展起来的[12-13]。首先将剪切环中堆积的物料通过浆叶搅拌均匀，消除之前的应力历史，然后利用实心压缩头将测试样品预压缩至稳定状态并切分处理。环剪头在设定的法向应力下开始环剪，剪切头以一定转动速率对表面床层环剪，叶片受到的应力值不断上升，直至床层破裂叶片受到的应力骤降，即可获得该应力下床层的剪切应力值。

由于粉体在仓内下料过程中处于低应力状态，为确保剪切条件与颗粒流动的真实状态相近，有必要开展低应力下的剪切测试。但在实际操作过程中，当压应力低于某一极限值后，测试结果往往不可靠。因此，目前较常见的做法是在不同预压缩应力条件开展剪切测试，并将测试结果外推至零，从而获得零应力条件下的测试参数[14]。本实验分别在3、6、9 kPa三个不同预压缩应力下开展剪切实验。图3以6 kPa预压缩应力为例，给出了粉体的剪切测试曲线。

图3 预压缩6 kPa剪切曲线Fig.3 Shear curves under pre-compressed 6 kPa

由图可见，六种物料的正应力(σ)增大床层的剪应力(τ)增大，且线性相关度较好。因此，可采用库仑定律[12]来描述粉体正应力与剪应力之间的关系，即

值的注意的是，褐煤在6 kPa与9 kPa条件下获得的内聚力小于零，因此本文仅考虑其在3 kPa预压缩应力下的测试结果。分析不同预压缩应力条件的粉体剪切测试参数，发现内聚力是与预压缩应力有关的变量，两者具有较好的线性度，通过对3、6、9 kPa条件下的结果线性外推可得到零应力下的床层内聚力；内摩擦角几乎不受预压缩应力的影响，故取三种测试条件结果的平均值(表2)。

由图4可知，粉体床层拉伸应力σt是屈服轨迹与压应力轴的交点。因此，在获得零应力下的粉体内聚力与内摩擦角后，床层拉伸应力σt可以由式(2)获得。

图4 莫尔圆和屈服轨迹[15]Fig.4 Mohr circlesand yield locus

2.2 粉体下料预测

料斗下料是粉体领域的重点研究问题，粉体的流动性和料斗的结构参数均会对料斗下料流率产生重要影响。在本实验搭建的下料实验平台上对六种物料进行重力下料实验，下料流率结果如图5所示。玻璃微珠的下料流率最大，且三种粒径颗粒的下料流率相近，在40 g/s左右；fcc、褐煤和pvc的下料流率较小，在15～20 g/s范围内。玻璃微珠的密度较大，在重力推动下粉体流动顺畅，因此下料流率较大。fcc颗粒的孔隙结构发达，褐煤颗粒形状粗糙不规则，pvc颗粒密度低，最终导致下料流率较低。

图5 重力下料质量流率Fig.5 Mass flow rate of gravity discharging

目前针对锥形料斗，粉体下料流率预测使用最广泛且认可度最高的模型为Brown and Richards模型[6,10]

式中，C1和k1是经验常数，C1取决于内摩擦角，一般取0.52；常数k1修正粉体下料在出口处产生的空环效应，对于球形颗粒k1一般取1.6[16-17]。ε为床层自然堆积时的空隙率

图6为六种物料在重力条件下下料流率实验值与预测值对比。从表中数据可以看出，传统模型预测的粉体下料流率均大于实验值。特别地，玻璃微珠预测误差相对较小，gb-a和gb-b的误差为15%左右，gb-c的误差最大为31%；pvc误差为53%，而fcc与褐煤分别达到60%和67%。

图6 下料流率实验值与Brown and Richards模型预测值对比Fig.6 Comparison of mass flow rate between experiments and prediction from Brown and Richardsmodel

2.3 细颗粒下料过程分析

实验发现，传统颗粒下料预测模型的计算值和实验值之间有很大的误差，这与文献中讨论的结果一致[8,18-19]。造成这种现象主要是因为细颗粒粉体的颗粒间相互作用强[20]，阻碍了粉体下料流动。Lu等[21]研究表明，随着颗粒尺寸降低重力不再是关键性作用，细颗粒间作用开始显著。Brown and Richards模型对大粒径粉体下料具有很好的预测性，但由于当颗粒粒度降低后颗粒间的相互作用不再能被忽略[22]，该模型不再具有良好的适应性。不同粉体颗粒间的作用强度不同，对下料流动造成的差异也不相同[11,17]，因此非常有必要正确获取颗粒间作用力，并用来描述其对粉体下料流率的影响。

颗粒间常见的作用包括液桥力[23]、静电力[24-25]、范德华作用力[26]等。在本文的实验体系下，不存在高压电场、液体以及水汽的环境，液桥力主要存在于湿颗粒之间，其形成的临界湿度为60%～80%。本文在开展实验之前，首先将所用的颗粒在105℃条件下做烘干处理，保证粉体的水分含量在0.5%以下，因此，颗粒间液桥力可忽略。相互接触的颗粒有相对运动时，会产生静电力。但在粉体单元操作中，例如料仓下料，颗粒间的接触形式、接触次数、接触时间、接触面积等都很难定量，从而难以准确定量计算颗粒间的静电力。并且很多实验和理论表明，除具有强带电性的高分子颗粒外，颗粒间的静电力远小于颗粒间的范德华力和毛细力。特别地，本实验还对实验料斗做接地处理，尽量移除粉体颗粒在流动过程中相互摩擦产生的静电，因此，静电力也可忽略。综上，本文研究工作中，颗粒间作用力以范德华力为主，所以本文主要考虑颗粒间的范德华力作用[15]。范德华力产生的原因是实验物料不具有极性，所以颗粒在分子级别上会产生瞬间的偶极作用。利用London-van der Waals引力势能和能量叠加原理，Hamaker[26]通过积分构成两颗粒所有分子或原子间的引力势能计算出两颗粒之间的范德华力公式。但粉体由于具有粒径分布，且表面粗糙度等都会对理想化的模型计算值产生较大影响。因此在实际过程中，该模型具有一定局限性。另一种有效的途径是，利用剪切测试手段获得床层拉伸应力，并通过Rumpf方程计算可以得到有效的颗粒间作用力[27]。Rumpf方程提出的模型适用假设为：体系内颗粒为球形而且随机堆积；颗粒之间的接触面积相较于颗粒的表面积足够小，接触面可以假设为接触点；接触点均匀分布于颗粒表面；堆积结构各向同性。Rumpf方程为[28]

颗粒间作用力主要影响粉体之间的接触方式，导致床层结构差异，并体现在空隙率ε上[29]。Bond数(Bog)作为无量纲数可以用来衡量粉体颗粒间作用力强度，表示粉体流动性的差异及堆积特性。其表达式为颗粒黏附力与颗粒体积力的比值，即

Wg指作用在颗粒上的任何体积力，本实验中指颗粒的重力。细颗粒自然堆积过程中，主要受到颗粒间作用和颗粒体积力的作用。重力作为推动力使床层更加密实，而颗粒间作用起到阻碍作用使颗粒相互分离，堆积更加松散。最终床层的堆积空隙是由重力与颗粒间作用竞争的结果，当Bog＜1时颗粒间作用力相比重力作用占比小，颗粒主要受重力作用，颗粒间作用对粉体流动的影响小可忽略不计，床层自然堆积空隙率变化非常缓慢；而当Bog＞1时颗粒主要受颗粒间作用，床层空隙随颗粒间黏附性质迅速增加，故Bond数被认为是影响床层孔隙状态的决定性因素。

Yu等[30]根据经验公式，提出了利用Bond数对床层的空隙率进行修正

其中，ε0指没有颗粒间作用，只依赖于颗粒的重力在自然堆积时产生的床层空隙率。该经验公式主要适用于颗粒粒径小于100μm的干燥细颗粒粉体堆积下的空隙率计算。Yu等[30]利用玻璃微珠讨论空隙率与颗粒间作用的关系，认为松散堆积状态下ε0为0.4，拟合参数m=2.954，n=0.156。Lu等[11]同样利用该参数，在pvc物料体系下同样具有良好的适应性。故本文在建模过程中也引用上述参数值。

值得注意的是，为保证结果的正确性，在式(5)应采用修正后的空隙率ε和零应力条件下的拉伸应力σt。因此，联立求解式(5)～式(7)，最终获得修正后空隙率ε'，颗粒间作用力Fvdw和Bond数。

从图7可以看出，在颗粒间作用的影响下床层结构发生改变，下料过程中床层的空隙率大于自然堆积状态下的空隙率。这主要是细颗粒间强作用力的排斥作用导致的，颗粒在床层中重新排列，间隙增大降低堆积效率，造成物料在出口时的床层密度降低，从而降低下料流率。

图7 空隙率修正对比Fig.7 Voidage correction comparison

根据式(3)～式(7)，可建立的耦合颗粒间作用的粉体下料流率预测模型如下

将实验物料的物性参数代入式(8)中计算下料流率Ws，下料实验值与预测值对比如图8所示。

图8 下料流率实验值与预测值对比Fig.8 Comparison of mass flow rate between measured and predicted value

传统Brown and Richards模型适用于粗颗粒下料流率预测，而式(8)关于细颗粒下料流率预测的修正模型是在此基础上考虑细颗粒间相互作用的影响，并嵌入Brown and Richards模型中获得的。当颗粒粒径较大，同时颗粒相互间作用微弱时，式(8)将退回至Brown and Richards模型依然适用；而当粒径降低颗粒间相互作用显著时，影响床层空隙率增大，此时利用新提出的修正模型仍旧具有良好的适应性，故式(8)对粗颗粒及细颗粒均有一定的适应性。因此式(8)主要适用于干燥体系，颗粒间作用以范德华力为主的颗粒下料流率预测。

从预测结果看，修正后的下料流率显著改善了传统模型预测偏差大的弊端。特别对于lignite和pvc粉体，从传统方程偏差的60%左右降低控制在3%以内，fcc与pvc颗粒预测误差分别降低至12%和4%，褐煤颗粒误差从67%降低至仅为0.7%。同时，玻璃微珠gb-c的误差从31%降至3%。同时也可以发现，玻璃微珠gb-a和gb-b两种粉体误差较大，这是由于对两种颗粒间作用的过度修正导致的。实验通过剪切测试的手段计算获得这两种粉体颗粒间作用力的精度上存在一定误差，同时粉体的粒径分布与Rumpf方程假设中的单分散体系存在出入，故最终导致gb-a和gb-b两种粉体在利用式(8)计算下料流率时产生一定的偏差。

3 结 论

实验采用玻璃微珠，流化床裂化催化剂颗粒、褐煤和聚氯乙烯颗粒为原料，开展了粉体流动性测试及料仓下料研究，主要结论如下。

(1)剪切测试结果表明，六种测试粉体剪切应力均随正应力的增大而增大，且具有较好的线性相关度。通过对3、6、9 kPa条件下的结果线性外推获得零应力下的床层内聚力并计算物料的床层拉伸应力。

(2)重力下料实验中玻璃微珠的下料流率大于fcc、lignite和pvc粉体。受细颗粒间作用影响，粉体锥形有机玻璃料斗重力下料实验结果与传统Brown and Richards模型预测结果之间存在较大偏差，对于黏附性粉体误差高达60%左右。

(3)本文利用剪切测试结合摩尔应力圆理论获得床层拉伸应力，并借助Rumpf方程进一步获取颗粒间作用力，进而采用Bond数对粉体床层空隙率进行修正。建立了耦合颗粒间作用力的粉体流率模型，可有效预测偏差，其中gb-c、fcc、lignite与pvc颗粒偏差分别从31%、60%、67%、53%降低至3%、12%、0.7%和4%。

符号说明

Bog——Bond数

C——内聚力，kPa

C0——零应力下内聚力，kPa

C1——Beverloo经验常数

D0——料斗出口直径，m

dsv——表面积平均粒径，μm

d10——体积分数为10%的粒径，μm

d43——体积平均粒径，μm

d50——体积分数为50%的粒径，μm

d90——体积分数为90%的粒径，μm

Fvdw——范德华力，N

g——重力加速度，m/s2

k1——Beverloo经验常数

m——拟合参数

n——拟合参数

Span——粒径分布宽度指数

W——下料流率实验值，kg/s

Wg——单位面积上颗粒重力，N

Ws——下料流率预测值，kg/s

α——料斗半锥角，（°）

ε——自然堆积床层空隙率

ε'——修正后床层空隙率

ε0——随机堆积床层空隙率

ρb——堆积密度，kg/m3

ρp——真实密度，kg/m3

σ——施加床层的正应力，kPa

σt——床层颗粒间拉伸应力，kPa

τ——剪切应力，kPa

φ——内摩擦角，（°）

φ0——零应力下内摩擦角，（°）