邓 欣,袁红刚,娄 宁

(1.中国西南电子技术研究所，成都 610036;2.北方电子设备研究所，北京 100191)

0 引 言

自适应波束形成算法可通过获取空间环境信息，在期望信号方向形成主瓣的同时自适应在干扰方向形成零陷，实现抑制干扰。这种自适应波束形成技术被广泛应用于各种不同领域[1-2]。大多数传统自适应波束形成通常假设工作在理想情况下。实际中，各种非理性因素如阵列自身的幅相误差、目标波达方向(Direction of Arrival，DOA)估计误差、干扰方向失配等问题通常会导致传统波束形成性能下降，其中目标来波方向失配引起的目标方向增益下降问题受到了广泛的关注和研究[3-5]。

现有的稳健自适应波束形成算法主要包括对角加载算法、不确定集约束算法[6]、最差性能最优化算法[7]以及稳健线性约束最小方差[8]算法等。其中，对角加载算法虽然可以有效提高稳健性，但其性能依赖对角加载因子的选择，当对角加载因子选取不当时，可能导致干扰方向零陷深度不够[9]，此外，在信干噪比较大时，对角加载算法可能会出现性能下降问题。不确定集约束算法将可能失配的导向矢量约束在某个椭圆不确定集内，从而降低目标DOA失配的影响。最差性能最优化算法通过优化最差条件下的波束形成性能达到提高稳健性的目的。不确定集约束算法和最差性能最优化方法均可归结为对角加载类算法，只是有各自的对角因子求解方法，此类方法在信干噪比较高时仍然会出现性能下降较大的问题[9]。稳健线性约束最小方差算法虽然能在一定程度上减少目标期望信号方向失配造成的影响，但当期望信号失配较大时，目标方向的增益仍然会有一定损失。

针对现有算法存在的问题，本文提出了一种基于投影对消处理的稳健波束形成算法，通过寻找协方差矩阵特征向量中与目标DOA估计矢量相关性最强的矢量作为目标导向矢量，并通过投影对消矩阵消去期望信号，最后通过在干扰方向施加零点约束形成零陷。与现有方法的对比实验验证了所提算法能在目标方向失配、信干噪比较大的情况下实现稳健波束形成，并在干扰方向形成较深零陷。

1 信号模型

考虑N元等距线阵，其阵元间距为d，且每个阵元均为全向阵元，如图1所示。

图1 等距线阵自适应波束形成系统模型示意图

X(t)=A(θ)S(t)+N(t) 。

(1)

利用式(1)的接收信号，可以得到协方差矩阵的最大似然估计值为

(2)

式中：L为快拍数，上标H表示矩阵共轭转置。

对于常规最小方差无失真响应波束形成(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)算法，其最优权值为

(3)

2 基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应算法及其本质

2.1 算法描述[6]

在实际中，真实的导向矢量a0很难准确获得，但是可以被约束在某个椭圆不确定集之内，即

(4)

式中：A为某给定参数。为了优化得到更准确的导向矢量s，将波束形成算法代价函数描述为如下形式：

(5)

式中：σ2表示阵列输出信号的方差。

式(5)中的问题可转化为二次约束二次规划问题，并由Lagrange乘子法求解得到最优解s[10]为

(6)

由矩阵求逆引理可以得到

(7)

将式(6)代入采样矩阵求逆(Sampling Matrix Inverse，SMI)算法的最优权表达式，可以得到稳健算法的最优权为

(8)

这说明该波束形成算法属于对角加载类算法。由式(7)和式(5)的约束条件可以推出解最优Lagrange常数的公式为

(9)

2.2 算法分析

对式(9)的解进行分析。首先对R进行特征值分解，得到

R=UΣUH。

(10)

式中：U=[u1,u2,…,uN]，为R的特征向量矩阵，Σ=diag(λ1,λ2,…,λN)为相应的特征值矩阵。可以将式(9)展开写作[10]

(11)

首先做一点近似：在信噪比较高的前提下(通常认为-10 dB以上)，目标信号对应的特征向量与目标信号的导向矢量近似同向，可以用目标信号对应的特征向量代替目标信号的导向矢量，即a0=δu1，δ为一常数。

(12)

式中：γ是一个极小的常数，用以保证协方差矩阵可逆。

由于γ是一个极小的数，因此式(12)的结果可以采用以下近似:

(13)

则方向图在a0方向的幅度为

(14)

事实上，式(14)的结论在很多其他的对角加载类算法中也能推出，如基于模约束的稳健波束形成算法和基于最坏性能的最优的自适应波束形成算法等。

3 基于投影对消处理的稳健自适应波束形成算法

3.1 目标信号对应的特征向量搜索[7]

由之前的a0=δu1可知，可以用目标信号的特征向量代替目标导向矢量，因此需要对目标信号的特征向量进行搜索[11]。

定义列向量x、y的相关系数为

(15)

(16)

3.2 投影对消处理过程

通过式(16)搜索得到目标信号的特征矢量后，就可以生成相应的对消矩阵:

(17)

经过对消之后的协方差矩阵记为R′:

R′=BRBH。

(18)

将式(18)进行展开:

(I-u1(u1Hu1)-1u1H)H=

(19)

由式(19)可知，R′中关于目标信号的特征矢量已经被滤除，这与对角加载类的稳健自适应波束形成算法等价。为了保证R′的非奇异性，要对其进行补偿，即

R″=R′+γI。

(20)

式中：γ为一极小常数。

得到对消后的协方差矩阵后，根据最小均方误差准则，可以得到此时的最优权为

(21)

则阵列波束形成的方向图为

(22)

3.3 约束零点位置

式(21)中的权向量是基于SMI算法获得的，当目标信号功率较大时，该权向量无法在干扰处生成零陷，因此为了保证干扰处零陷的产生，需要对方向图加入零点约束。

设C为约束矩阵，F为约束值向量，权值wopt应同时满足

CHwopt=F。

(23)

在这里，由于目标信号的DOA估计不精确，我们不对目标信号使用约束，即C中的约束向量全部是干扰方向的导向矢量，F为全零列向量。

线性约束最小方差(Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV)算法是加入零点约束的有效算法，但是直接由式(20)估计得到的协方差矩阵进行LCMV波束形成是不行的，这是由于由式(14)推出的结论是基于SMI算法的，同样的结果对于LCMV算法并不适用，因此需要另辟蹊径。

采用正交投影的原理得到相应的权向量。首先，全体满足Φ={w|CHw=F}的权值w构成C的零空间，因此Φ为一线性子空间，而wopt∈Φ，向C零空间做投影的投影矩阵可以表示为

E=I-C(CHC)-1CH，

(24)

(25)

(26)

(27)

所提算法的流程图可见图2。

图2 算法流程图

算法具体步骤如下：

Step1 对协方差矩阵R进行特征分解。

Step2 以式(16)为准则，寻找与目标估计导向矢量最接近的特征矢量作为目标导向矢量。

Step3 由式(17)生成相应的对消矩阵，并计算式(18)中对消后的协方差矩阵。

Step4 求解零点投影矩阵E，并通过式(25)得到最终的权矢量。

4 仿真与分析

为了对比本文所提的算法与基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法、稳健自适应最小方差准则算法和传统最小方差无失真响应算法的性能差异，证明本文所提算法的有效性，分析几种算法的优缺点及适用条件，进行了如下三组仿真实验。设阵元数为16的均匀线阵，阵元间距为半波长，阵元为全向阵元，信号真实波达方向为10°，实验参数如表1所示。

表1 仿真实验参数

4.1 不同信噪比情况下性能比较(实验1)

信噪比分别为10 dB、-10 dB、-20 dB，信干比为-10 dB，导向矢量估计误差为3°，两个干扰方向分别是-35°和30°,仿真结果如图3所示，图中均以点划垂直线指示目标方向，垂直实线指示干扰方向(下同)。由图3可以看出，随着信噪比变化，本文方法和椭圆不确定集约束算法以及稳健自适应最小方差准则算法均能较好地校正导向矢量失配误差。其中椭圆不确定集约束算法和本文所提算法在目标方向的增益略好于稳健线性约束最小方差准则算法，但椭圆不确定集约束算法由于没有加入零点约束，抑制干扰能力不如本文方法，尤其是当信噪比为-20 dB时，椭圆不确定集约束算法未能在-35°干扰方向形成零陷。当信噪比为10 dB时，稳健自适应最小方差准则算法能较好地抑制干扰，但随着信噪比增大，其零陷深度变浅。相比之下，传统的最小方差无失真响应算法主瓣偏离，且未能在干扰方向形成较深零陷。

(a)信噪比10 dB

(b)信噪比-10 dB

(c)信噪比-20 dB图3 不同信噪比情况下的方向图

4.2 不同信干比情况下性能比较(实验2)

信噪比为15 dB，导向矢量估计误差为3°，信干比分别为-10 dB、5 dB、10 dB，两个干扰方向分别是-35°和30°，仿真结果如图4所示。

(a)信干比-10 dB

(b)信干比5 dB

(c)信干比10 dB图4 不同信干比情况下的方向图

由图4可以看出，本文方法和稳健最小方差准则算法均能在干扰方向形成较深零陷，但本文方法形成零陷相对更深。当信干比增大至10 dB时，椭圆不确定集约束算法零陷较浅，抑制干扰能力下降。本文方法和椭圆不确定集约束算法在目标方向均能形成较好的增益，最小方差无失真响应算法在目标方向发生失配，且旁瓣较高。

4.3 不同导向矢量估计误差情况下性能比较(实验3)

信噪比为15 dB，信干比为-10 dB，导向矢量失配角度分别为3°、5°和7°，两个干扰方向分别是-35°和30°，仿真结果如图5所示。

(a)失配误差3°

(b)失配误差5°

(c)失配误差7°图5 不同导向矢量估计误差下的方向图

由图5可以看出，最小方差无失真响应算法在存在导向矢量失配误差时性能会有所下降，失配误差越大，性能下降越明显。稳健自适应最小方差准则算法受到失配误差的影响小于最小方差无失真响应算法。本文方法和椭圆不确定集约束算法均能有效地校正导向矢量失配误差而与误差的大小无关，这与之前的分析一致，因为两种方法的本质都是使阵列在真实目标方向生成最大值，与失配误差无关。

综合上述，基于稳健自适应方差准则的波束形成算法能在一定程度上减少目标方向失配产生的影响，但失配误差较大时性能有所下降。基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法与本文方法都能有效地校正导向矢量失配误差，并且性能与误差的大小无关；在信干比较小的时候，两种方法得到的方向图是几乎一样的，这与预期一致，因为本文提出的算法在高信噪比低信干比条件下与基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法等价；信干比较高时，也就是说目标信号功率相对较大的情况下，基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法由于没有零点约束，因此在干扰方向上不能有效形成零陷，而本文提出的算法由于进行了额外的零点约束，所以在干扰方向生成了有效的零陷；两种方法随信噪比下降均有旁瓣升高的问题。

5 结束语

本文综合考虑目标来波方向估计不准确引起的传统自适应波束形成性能下降的问题，以及基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法无法在目标信号功率过高的情况下在干扰处生成零陷的问题，从基于导向矢量不确定集约束的稳健自适应波束形成算法出发，推导其原理，进而提出了基于投影对消预处理的稳健波束形成算法。该算法通过正交投影方式进行零点约束，可有效校正导向矢量失配误差，且在不同信干比情况下均能在干扰方向生成较深的零陷。仿真结果验证了该算法的有效性。该算法可用于数字相控阵天线的自适应波束形成，在实际应用环境中目标信号方向估计不准的情况下，确保来波方向处理性能的同时有效抑制旁瓣干扰。在所提算法的基础上，未来还可以进一步研究在低信噪比条件下压制方向图旁瓣的方法，解决旁瓣随着信噪比降低而升高的问题。