李盈科,张真真,张 瑜,李双喜,李岩松

(①新疆农业大学数理学院,830052,新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市;②西北师范大学计算机科学与工程学院,730000,甘肃省兰州市)

0 引 言

微分方程模型是表达自然规律的一种自然的数学语言,是人们认识宇宙间事物运行规律的一种载体.一般情况下,这种运行规律的某些特性可以描述为一个微分方程组的柯西问题,这个柯西问题的解的适定性,特别是其中的解的存在唯一性,平衡点(态)的存在性以及其稳定性问题往往是研究的一个重要方面[1,2].Hisashi Inaba 在文献[2] 中介绍了如下婚姻模型,其中x(t,a),y(t,a) 和p(t,a)分别表示单身女性、单身男性以及成对夫妇在t时刻、a年龄的年龄依赖的密度函数.假设单身男、女的死亡率均为μ(a).夫妇的离婚率为σ(a), 结婚率为β(a).结婚函数为ρ(t,a)=Ψ(x(t,·),y(t,·))(a),尽管 Ψ(x,y) 并非关于x,y的线性函数,一般情况下采取平均意义的结婚函数ρ(t,a)=Ψ(1,1)(a)x(t,a).模型具体形式以如下偏微分方程组给出

(1)

模型(1)的平衡态E*=(x*(a),y*(a),p*(a)) 满足以下的初值问题

(2)

此处ρ(a)=Ψ(1,1)(a)x(a).以下为了简洁,平衡态E*的坐标仍以(x(a),y(a),p(a)) 给出.求模型(1)的平衡态转化为求柯西问题(2) 的解,本质上为求解一个变系数的线性常微分方程组的柯西问题.

许多经典教材对于求解一般的常系数线性常微分方程组的柯西问题都讲得很透彻,但对变系数的线性常微分方程组的柯西问题求解,尽管解的存在性理论已经很完备,但由于实际问题的多样性,求解析解并非易事,也没有统一方法,一般教材或文献也少有介绍[3].对问题(2),由基本理……