雷添淇

原题：（第七届全国中小学数学创新应用大赛八年级复赛试题第13题）已知[a2+1a2=322]，则[a4+1a6]的值为 .

分析：已知两式都可看作关于[a2]的代数式. 令[a2=x]，已知两式分别可化为[x+1x=322 （x>0）]，[x2+1x3]. 将[x+1x=322]去分母得[x2-322x+1=0]，如何求解这个一元二次方程呢？此时联想对称多项式（即在一个含有若干元的多项式中，任意交换两元位置，多项式不变，如[1x+1y+1z]，[x2+y2]）. [x+1x]是对称结构，但[x2+1x3]不是对称结构，因此可构造对称结构求解.

策略：构造对称式解决代数求值问题

解：令[a2=x]，则[x+1x=322 （x>0）].设[s=x2+1x3]，[t=1x2+x3]，

∴[s+t=x2+1x3+1x2+x3=x3+1x3+x2+1x2=x+1x3-3x+1x+x+1x2-2=52+924]，

[s-t=x2+1x3-1x2-x3=x2-1x2-x3-1x3=x+1xx-1x-x-1x3+3x-1x].

∵[x+1x=322]，∴[x-1x=±x+1x2-4=±22].

∴[s-t=32-724]或[-32+724].

∵[s=（s+t）+（s-t）2]，∴[s=2+24] 或[12+22]. ∴[a4+1a6=2+24或12+22].

故應填[2+24或12+22].

（全国中小学数学创新应用大赛组委会供稿）