刘家良

商人们总是希望投资少利润大. 其实，与利润最大值、投资最小值有关的方案设计问题，都可以借助一次函数知识来解决.

例1（2020·湖南·怀化）某商场计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价为1600元，售价为2000元;乙型平板电脑进价为2500元，售价为3000元.

（1）设该商场购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间的函数表达式.

（2）若该商场采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润.

分析：（1）由题意可求甲、乙型平板电脑售出后每台各自获利，欲求20台平板电脑全部售出后的获利，需由甲型平板电脑的售出量求得乙型平板电脑的售出量;（2）由甲、乙型平板电脑每台的进价、数量并结合题意得采购费用的不等式，由获利函数式并结合题意得利润的不等式，组成不等式组，求得解集，并结合x为正整数，得到x的整数值，即得采购方案，再由一次函数的增减性得到最大利润.

解：（1）由题意得y = （2000 - 1600）x + （3000 - 2500）（20 - x） = - 100x + 10 000.

即全部售出后该商场获利y与x之间的函数表达式为y = - 100x + 10 000.

（2）由题意得[1600x+2500（20-x）≤39 200，-100x+10 000≥8500.]解得12 ≤ x ≤ 15. ∵x为正整数，∴x = 12，13，14，15.

共有四种采购方案：①甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台;②甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台;③甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台;④甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台.

∵y = - 100x + 10 000，且 - 100<0，∴y随x的增大而减小.

当x = 12时，y有最大值，y最大值 = - 100 × 12 + 10 000 = 8800.

即采購甲型平板电脑12台、乙型平板电脑8台时商场获……