龙鑫林，严康为，鲁军勇，柳应全，周 仁

(海军工程大学 舰船综合电力技术国防科技重点实验室， 湖北 武汉 430033)

电磁发射技术作为一种利用电磁力加速物体的先进发射技术，因具备发射动能大、发射速度快、发射效率高、可控性强等优势，广泛应用于飞机弹射、武器发射、火箭推射等领域[1-2]。为保障发射装置工作时的频繁大功率脉冲电能供应，常在电网与用电设备之间增加锂离子电池储能环节，发挥能量缓冲以及功率放大的作用[3-4]。

用于电磁发射的电池储能系统需要数千节电池的串并联使用，以满足发射装置的电压、电流需求。在大量连接件以及电池自身寄生参数的作用下，电池组在充放电瞬态过程中会呈现出明显的电感特性。如果在系统设计时对该杂散电感的取值不当，会影响电池组放电时的能量传输速率[5]，并造成绝缘栅双极型晶体管(Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT)关断过程中电压应力过大[6]、保护装置的分断时间过长[7]等问题，进而影响发射指标和装置寿命，严重时甚至导致器件失效以及火灾的发生。因此，准确提取电池组杂散电感，对电磁发射电池储能系统的精确设计具有非常重要的意义。

近年来关于杂散电感的提取方法已有相关的研究，多集中于电力电子领域的母排及换流回路杂散电感上，根据提取的方式可分为计算法、信号分析法及瞬态波形分析法三类。计算法通过构造解析式[8]、三维有限元[9-10]、部分单元等效电路[11-12]等途径对待测物体完成精细化建模和电感估算，难以运用于结构庞大、材料组成复杂的电池组。信号分析法需要对待测对象施加时域[13]或频域[14-15]信号，适合测量无源或电压较低的小型有源设备，对端电压数百伏甚至数千伏的大容量电池组并不适用。瞬态波形分析法利用电感的伏安特性，通过分析包含待测对象的电路在开通与关断的瞬态过程中的电压、电流波形，从中得到所需的电感值[16]，是目前针对电池组的参数提取非常有效的方式。

文献[17]利用回路导通瞬间的电压跌落除以电流变化率，实现了铅酸电池组的杂散电感提取，但其分析过程中需要求解瞬态电流变化率这一微分量，数值计算时受噪声信号影响难免带来较大的误差。文献[18]运用电感的伏安关系积分式，从而避免了微分运算，提高了参数提取的准确性。文献[19]在积分法的基础上引入了杂散电阻和测量偏置两个影响因素，进一步提高了积分法的准确程度。文献[20]提出了一种开关振荡频率法，该方法需要在测试电路特定位置插入分立电容，具有一定的局限性。

本文针对电磁发射电池组杂散电感需要精确提取的要求，首先建模分析了电池组脉冲放电的过程，寻找到适合杂散电感提取的阶段，随后提出采用滑动离散傅里叶变换(Sliding Discrete Fourier Transform, SDFT)微分算法结合多新息最小二乘(Multi-Innovation recursive Least Squares, MILS)算法的方式提取杂散电感。最后，利用电池组的脉冲放电测试波形对该方法完成验证，并与传统方法进行比较，证明了该方法的有效性与准确性。

1 电池组脉冲放电过程的建模与分析

大容量锂离子电池组的电池数目庞大，且每节电池的端电压与放电电流呈现出复杂的时变非线性关系，难以实现每块电池的精细建模。在仅需了解电池组整体电路特性的前提下，可借鉴单体电池分析常用的电路模型思路，并针对电池成组后的状态变化进行扩展。图1为包含了电池组电路模型的脉冲放电测试电路示意图，由锂离子电池组、放电开关及测试负载三部分组成，其中电池组模型采用传统的二阶RC电路模型[21-22]与电感Lo串联的形式。

图1 测试电路示意图Fig.1 Schematic circuit of testing

图1中：Uocv为锂离子电池组的开路电压(Open Circuit Voltage, OCV)，随各节电池荷电状态(State Of Charge, SOC)的改变而变化；Ro为欧姆内阻，表征电池组端电压U的变化量与放电电流I呈现欧姆线性相关的成分；Lo为电池组杂散电感，用于表示电池组输出呈现出的电感特性；Rp、Cp并联组成电化学极化项，对应的电池组端电压受每节电池电荷转移步骤的影响，Rd、Cd并联组成浓差极化项，对应的电池组端电压受每节电池的锂离子液相及固相扩散过程的影响；Re、Le、D均为测试负载参数，Rs、Cs为开关S缓冲电路的吸收电阻和吸收电容。

开关S闭合后电池组端电压U及放电电流I的波形示意图如图2所示。其中，U0-、U0+分别为U在t0时刻之前及之后的值，U1、U2分别为U在t1、t2时刻的值，I0、I1、I2分别为I在t0、t1、t2时刻的值。

图2 脉冲放电波形示意图Fig.2 Sketch of pulse discharge waveforms

根据图2波形的特点，可将电池组脉冲放电过程分为三个阶段：阶段Ⅰ(t0～t1)期间，电池内部的极化过程还未开始，此时电池组等效电路可视为如图3(a)所示的电压源、电阻、电感串联的形式，放电电流从I0逐渐上升至I1，端电压在内外电感的分压作用下先跌落至U0+后逐渐回升到U1。阶段Ⅱ(t1～t2)期间，受电极反应速率的限制，电池负极的电子逐渐流失、正极的电子不断集聚，导致端电压逐渐下降，各节电池进入电化学极化状态，此时电池组等效电路如图3(b)所示，由于放电电流下降缓慢，此阶段电感分压可忽略不计。阶段Ⅲ(t2之后)期间，锂离子在电解液及电极材料内部的缓慢扩散过程成为遏制电池放电的控制步骤，端电压从U2开始进一步下降，电池处于浓差极化状态，此时电池组等效电路如图3(c)所示，此阶段放电电流同样下降缓慢，电感分压可忽略不计。

(a) 阶段Ⅰ(a) Phase Ⅰ

(b) 阶段Ⅱ(b) Phase Ⅱ

(c) 阶段Ⅲ(c) Phase Ⅲ图3 脉冲放电过程等效电路Fig.3 Equivalent circuit of pulse discharge process

从以上三个阶段的分析中可看出，阶段Ⅰ的电池组放电电流变化明显且端电压不受电池极化作用的影响，适合从中提取杂散电感。此外，由于阶段Ⅰ的持续时间为百微秒至毫秒量级，在此期间各节电池的SOC几乎未发生变化，因此开路电压Uocv可视为恒定值，根据U0-确定。由此，可得阶段Ⅰ的电池组端电压U与放电电流I的关系式：

(1)

2 基于瞬态波形分析的杂散电感提取

2.1 传统杂散电感提取方法

2.1.1 变分法

开关S闭合瞬间，电池组初始放电电流I0可近似为0，欧姆内阻Ro几乎不分压，但初始电流变化率dI0/dt很大，因此电池组端电压的瞬间跌落完全由杂散电感Lo引起，可据此得到Lo的微分计算公式：

(2)

由于该公式存在微分量dI0/dt，实际计算过程中针对离散数据需要将其近似为差分运算ΔI0/Δt，并选择合适的Δt，以降低高频噪声对计算结果的影响。由于过长或过短的Δt均会严重影响计算结果，因此该方法往往需要多次迭代才能得到较为理想的电感值。

2.1.2 积分法

为避免高频噪声的影响，积分法利用电感的伏安关系积分式，对式(1)在整个阶段Ⅰ进行积分，从而得到杂散电感Lo的积分计算公式：

(3)

由于t1时刻放电电流的变化率dI1/dt较小，此时电感Lo的分压可忽略不计，因此式(3)中的欧姆内阻Ro可近似为：

(4)

积分法相比变分法更加充分地运用了阶段Ⅰ的电压、电流数据，积分过程部分消除了高频纹波的干扰，但计算过程仍然需要借助I0、I1、U1这些瞬态值，因此当电路噪声情况较为复杂时，参数提取结果依然会受到较大的影响。

2.2 SDFT微分结合MILS的杂散电感提取

从以上两种分析方法中可看出，瞬态波形分析法的难点在于如何充分地运用波形数据以及如何避免微分量扩大噪声干扰。针对波形数据的充分运用，可引入递推最小二乘(Recursive Least Squares, RLS)算法，基于最小二乘原理从而降低噪声信号对求解结果的影响。MILS算法作为RLS算法的优化形式，具有更快的收敛速度[23]，可以保证当阶段Ⅰ采集的数据量较少时仍能实现辨识结果的充分收敛，因此更适合用于杂散电感的提取。

2.2.1 SDFT微分算法

DFT求解数值微分的基本思想是利用离散傅里叶变换将测量得到的时域信号转换为频域信号，在频域下完成微分和滤波的操作，再将微分结果反变换回时域，从而有效降低噪声信号对微分结果的干扰[24-25]。由于DFT求解数值微分的过程涉及傅里叶变换及其逆变换，时间复杂度高达o(N3)，直接计算耗时极长，因此本文通过添加滑动窗[26-27]以及固化过滤时间常数的途径，将这一过程更改为递推运算，大大降低了运算量。

给定一段采样间隔为T的离散信号序列{xm}，以第m位置处的数据为中心添加宽度D= 2N+1的矩形窗，即提取{xm-N,xm-N+1, … ,xm, … ,xm+N-1,xm+N}共D个数据作为第m位置的样本序列，则通过离散傅里叶变换可将该时域序列转换为频域形式Xk(k= 0, … ,D-1)：

(5)

其中，W=exp(-j2πD-1)。

(6)

(7)

其中：

τ为过滤时间常数。

从前期各地的实践看，对PPP项目流程执行各不相同，存在许多不按照规范要求执行的情况。自2017年以来，相关部门相继出台各项政策，对PPP项目进一步规范，5大环节、19个节点仍为判断PPP项目是否合规的重要依据。

(8)

整理式(5)～(8)，得到利用DFT微分算法求解信号xm数值微分的公式：

(9)

观察式(9)可知，DFT微分算法需要二重求和才能计算离散信号在第m位置的数值微分，为提高计算速度，需要对其进行简化，并且更改为递推形式。

由式(6)及DFT的共轭对称性可知:

(10)

其中，k= 1, … ,D-1。

令τ=D，结合式(7)、式(10)可得：

(11)

根据式(8)、式(11)以及DFT的隐含周期性可发现，当信号的最高有效频率分量fmax≤1/(20DT)，即D≤1/(20fmaxT)时，信号xm的数值微分近似满足：

(12)

考虑到

(13)

因而，式(12)可简化为：

(14)

其中，Re表示实部σ=D-1W-N。

(15)

(16)

(17)

其中：α=W-1，β1=T-1WD(W-1-1)，β2=T-1(W-1-1)。

整理以上推导结果，可总结SDFT微分算法求解长度为L、采样间隔为T的离散信号序列{xm}的数值微分的具体流程如图4所示。

图4 SDFT微分算法流程图Fig.4 Flow chart of SDFT differential algorithm

2.2.2 MILS提取杂散电感

传统RLS算法的递推过程如下：

(18)

其中，Kk为增益向量，Pk为协方差矩阵，λ为遗忘因子，I为单位矩阵。

MILS算法是基于多新息理论，在传统的RLS算法的基础上将单一新息ek扩展为包含历史数据的多新息Ek，从而更充分地利用新息数据，提高了收敛速度，进而在数据量不充分的情况下仍能保证较高的参数提取精度。

MILS算法求取多新息的公式为：

(19)

其中，p为新息长度。

将式(18)中的单一新息ek替换为多新息Ek，即可得MILS算法的递推过程为：

(20)

针对杂散电感的提取，将式(1)离散化，即：

(21)

3 测试过程及提取结果

3.1 电池组脉冲放电测试

为验证杂散电感提取方法的准确性，搭建如图1所示的电池组脉冲放电测试电路。其中，锂离子电池组由额定容量50 Ah、开路电压约3.3 V、最大安全放电电流250 A的单节电池以8并100串的方式连接而成，成组后的端电压约330 V，最大安全放电电流2 000 A。测试负载为1 MW水冷电阻反并联续流二极管，杂散电感Le小于30 μH，可通过增加内部并联数的方式改变电阻值，从而实现电池组的放电电流调节。放电开关采用2个3 300 V/1 200 A的IGBT模块并联，吸收阻容Rs、Cs分别为10 Ω、15 μF。电压测量采用高压差分探头(HVD3605)，带宽为100 MHz，精度为±1%；电流测量采用钳形传感器(CT7642)，带宽为10 kHz，精度为±0.5%；由于电流测量相比电压测量有较大延迟，因此需要将电流波形前移固定时长(50 μs)，以确保电压、电流波形变化的起始点基本一致。

在最大安全放电电流(2 000 A)以下对电池组进行脉冲放电测试，图5为200～2 000 A共10个放电等级下阶段Ⅰ的端电压、放电电流测试波形，可看出，随着放电等级的依次提升，端电压跌落最低值U0+依次下降，其原因是为满足较高电流等级的放电输出，测试负载内部并联数逐渐增多，负载的等效杂散电感Le因此逐渐减少，在端电压跌落过程中相比电池组内部电感Lo的分压减小，最终造成了U0+的下降。

(a) 端电压(a) Terminal voltage

(b) 放电电流(b) Discharge current图5 阶段Ⅰ的测试波形Fig.5 Testing waveforms of stage Ⅰ

3.2 杂散电感提取过程及结果

图6 不同滑动窗宽度下的电流变化率曲线Fig.6 Curves of current change rate under different sliding window width

利用SDFT微分算法计算放电电流变化率，以2 000 A放电等级为例，图6所示为不同滑动窗宽度D下的求解结果，其中采样间隔T=0.1 μs。当D较小时，由SDFT得到的频谱较为稀疏，部分干扰噪声存在于基波频率以下，造成求解的电流变化率曲线仍有较大波动。随着D的增大，频谱变得密集，大部分噪声被有效地滤除，最终求解结果也变得更加平滑。由于D的提高会造成初始中心位置N向后移动，也即0～N位置处的电流变化率无法有效地求解，综合考虑后选取D=501。图7为运用SDFT微分算法求解的10个放电等级下的电流变化率曲线，可看出，由于负载电感值的降低，大电流下的初始电流变化率也会明显增大。

图7 不同放电电流等级下的电流变化率曲线Fig.7 Curves of current change rate under different discharge current levels

将电流变化率曲线与端电压、放电电流波形代入MILS算法中提取电池组杂散电感，以阶段Ⅰ持续时间最短的200 A放电等级为例(阶段Ⅰ持续时间384.5 μs，共采样3 845个数据点)，图8为不同新息长度p下的杂散电感参数收敛曲线。当p=1，即采用传统的RLS算法时，由于收敛速度较慢，因此直到阶段Ⅰ的末期参数仍未充分收敛。随着p的增加，阶段Ⅰ的收敛速度明显加快。考虑到过长的新息长度p会增加较多的运算时间，此处选择p=10。

图8 杂散电感参数收敛曲线Fig.8 Parameter convergence curves of the stray inductance

针对200～2 000 A共10个放电等级的电池组脉冲放电波形，分别运用变分法、积分法、SDFT微分结合RLS以及SDFT微分结合MILS四种方法计算杂散电感，计算结果如表1所示。

表1 杂散电感计算结果

3.3 计算结果分析

图9为根据表1绘制的不同放电电流下杂散电感的提取结果，可看出，传统方法在不同放电电流下提取的杂散电感值波动较大，即使去除明显异常的200 A、400 A数据，变分法和积分法的剩余8次计算结果仍分别有8.9%、3.0%的相对标准偏差。通过SDFT微分结合RLS的方式可得到较为一致的杂散电感值，但由于低电流下阶段Ⅰ的持续时间较短，波形数据量较少(<5 000点)，因此参数收敛不够充分，依然有2.7%的偏差。而SDFT微分结合MILS由于参数收敛充分，因此提取结果在不同放电电流下呈现出很好的一致性，10次计算结果的算术平均值为4.90 μH，相对标准偏差为1.6%。

图9 杂散电感变化曲线Fig.9 Variation curves of stray inductance

图10为对应的欧姆内阻提取情况。其中，积分法10次提取结果的算数平均值为18.93 mΩ，相对标准偏差为1.0%；SDFT微分结合RLS的提取结果由于参数收敛不充分，因此相对积分法的提取结果整体偏大，且10次提取结果有3.0%的偏差；而SDFT微分结合MILS的10次提取结果算数平均值为18.99 mΩ，与积分法相当，相对标准偏差为0.76%，略好于积分法。

图10 欧姆内阻变化曲线Fig.10 Variation curves of Ohmic resistance

对于传统方法在低电流下有很大偏差的原因，经分析，是电池组的脉冲放电受外部电路杂散参数的影响，在开关导通时会出现如图11所示的波动，从而造成变分法计算所需的初始电流变化率dI0/dt以及积分法计算所需的初始放电电流值I0受到较大干扰。

图11 低电流下阶段Ⅰ的放电电流波形Fig.11 Discharge current waveform of stage Ⅰ at low current

4 结论

本文以电磁发射电池组为研究对象，对锂离子电池组的脉冲放电过程进行建模分析，采用SDFT微分算法结合MILS算法的方式实现了电池组杂散电感的提取，并得出以下结论：

1)本文方法能充分地利用瞬态波形数据，从而有效地避免了受噪声干扰的瞬态值对提取结果造成影响。实验结果证明，本文方法在不同放电电流下的杂散电感提取结果呈现出很好的一致性，即使在电流较低时仍能保证杂散电感的准确提取。

2)在电池组脉冲放电的初期，放电电流快速上升，伴随着端电压的瞬间跌落和回升，由于该阶段电感特性明显且电池极化作用还未显现，因此适合杂散电感的提取。