黄浩恒 薛晓龙 余俊民 谷恩宇 程宇航

（1、天津工业大学电气与电子工程学院，天津 300380 2、天津工业大学生命科学学院，天津 300380 3、天津工业大学化学工程与技术学院，天津 300380 4、天津工业大学环境科学与工程学院，天津 300380 5、天津工业大学经济与管理学院，天津 300380）

1 研究背景

利用回流焊炉，准备焊接的电子元件的线路板将分别经过回流焊炉的预热区、恒温区、回流区和冷却区[1]。在整个过程中，过炉速度决定了印刷线路板在每个温区的持续时间，通过调整持续时间，使印刷线路板上电子元器件的温度接近该温区的设定温度，达到生产所需温度的标准；每个温区的温度设定也将决定印刷线路板通该温区时温度的高低，决定传送带的过炉速度。因此只有设定合理的改变传送带速和各温区的温度，得到最优的炉温曲线，获得最佳的焊接温度，避免由于温度高而对元器件造成损坏保证焊接质量。

2 模型的建立和求解

2.1 基础模型

2.1.1 炉内温度分布的一维热传导模型

借助导热基本定律——Fourier 定律和能量守恒定律推导热传导方程[2]。在求解温度分布过程中，由于热量随时间进行扩散，因此本文考虑其导热现象。可得热传导方程为：

确定两边界的初边值条件，左边界Dirichlet 边值条件为：

确定间隙温度分布模型：

2.1.2 对电路板加热模型

假设热气和电路板之间的换热系数h（W/m2k）在整个加热区间是均匀的，并且近似为一个已知的常量，则得：

2.2 最大过炉速度

为了求解出最大过炉速度，我们在第一问一维导热模型和电路板加热模型的基础上，以题目所给的制程界限条件为约束条件，以过炉速度最大为目标函数，我们建立了单目标规划模型，通过计算机仿真求解出最大过炉速度。

建立目标函数：

回焊炉内有11 个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5cm，相邻小温区之间有5cm 的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25cm。整个传送带的长度为435.5cm。

图1 回焊炉内示意图

其中，t190为焊接区域中心的温度达到190℃的时间，t150为焊接区域中心的温度达到150℃的时间。

约束条件三：温度大于217℃的时间不小于40s 不大于90s。

其中，Tmax为峰值温度

约束条件五：各温区温度的设定值分别为182℃（小温区1～5）、203℃（小温区6）、237℃（小温区7）、254℃（小温区8～9）。

代入电路板加热模型，求解得到最大速度为v=72cm/min。可知，焊接区域中心的温度达到30℃时，电路板进入回炉焊开始计时，焊接区域中心的温度逐渐升高，在283 秒时,电路板开始进去冷却区，焊接区域中心的温度开始逐渐下降，直到电路板进入炉后区域，结束计时。

2.3 单纯形法求解炉温曲线

在焊接过程中，炉温曲线应使超过217℃到峰值温度所覆盖的面积（图3 中阴影部分）最小，请确定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。为了求解出所覆盖的面积最小时的炉温曲线，以图中阴影面积最小为目标函数，以炉温曲线的制程界限为限制条件，我们建立了一个单目标规划模型，代入问题一建立的一维导热模型和电路板的加热模型，采用全局搜索算法求解最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。

图3

采用全局搜索算法单纯形建立目标函数：

t217为焊接区域中心温度达到217℃时对应的时刻，Tmax为峰值温度，tTmax焊接区域中心达到峰值温度时的时刻。

其约束条件为：

约束条件一：温度上升下降斜率不超过3。

约束条件二：温度上升过程中在150℃～190℃的时间不小于60s 不大于120s。

约束条件三：温度大于217℃的时间不小于40s 不大于90s。

约束条件四：温度最大值不大于250℃不少于240℃。

求解后得到炉内温度分布图见图2。

图2 问题三的炉内温度分布图

3 模型评价与推广

3.1 模型优点

本文建立了回焊炉内部加热空气的模型和空气加热电路板的加热模型，在回焊炉加热空气的模型中，本文进一步将整个回焊炉分为三个区域并对其分别进行了建模。本文建立了目标规划和多目标规划的模型，并结合计算机仿真，可以准确的求解最优值。

3.2 模型缺点

计算机仿真在步长不是足够小时，会带来一定的误差。