苗 林

上海市基础工程集团有限公司 上海 200002

在钢-混凝土组合梁中，钢梁腹板内的剪力流在向混凝土板传递的过程中，由于混凝土板的剪切变形而使得板宽度范围内的轴向应力分布不均，出现明显的翘曲现象。混凝土板内的剪力流在横向传递过程中的这种滞后现象，被称为“剪力滞后效应”。剪力滞后效应使得距离钢梁较远的混凝土板并不能有效起到承受轴向压力的作用，对钢-混凝土组合梁的刚度、承载能力和变形的计算结果均会产生影响，尤其对刚度的影响最为显著，是钢-混凝土组合梁设计和研究中的关键问题。

关于剪力滞后问题，国内外很多学者就弹性理论解法、比拟杆法、能量变分法、数值解法及模型试验，提出了许多理论和计算方法。弹性理论解法是在经典弹性理论的基础上，建立了诸多等截面组合梁解决简单力学模型。1924年，Von Kármán最早利用调谐函数法，提出了计算翼缘板应力及其有效宽度的解析方法，即所谓的卡曼理论[1-2]。1991年，Křístek等[3]利用调谐函数法求解了无加劲肋、有加劲肋和组合截面这3种悬臂梁翼板的负剪力滞后效应。比拟杆法将处于受弯状态的结构比拟为只承受轴向力的杆件与只承受剪力的系板的组合体，然后根据杆与板之间的平衡条件和变形协调条件建立起一组微分方程，则翼板中的剪力滞后效应可以通过加劲杆的内力来确定。1991年，Gjelsvik[4]利用比拟杆法分析组合T梁剪力滞后效应，该方法一般适用于等截面箱梁，对于一些复杂荷载作用和形式结构的剪力滞后效应分析仍存在一定的难度。能量变分法从假定翼板的纵向位移模式出发，以梁的竖向位移沿梁长的变化率和描述翼板纵向位移差的广义位移函数为未知数，根据最小势能原理[5]，利用变分法建立平衡微分方程[6]，从而获得应力和挠度的解析解。2005年，孙飞飞等[7]基于Newmark模型[8]建立了一个能考虑滑移、剪力滞后和剪切变形的钢-混凝土组合梁模型，并得到了均布荷载作用下的解析解。2011年，李法雄等[9]基于Gjelsvik组合梁滑移模型[4]，得到简支组合梁在均布荷载和悬臂组合梁自由端集中荷载作用下的平衡方程。但变分法无法获得变截面组合梁的闭合解，且在翼板的自由端仍然存在计算误差，不同位移模式的假定对计算结果具有一定的影响，如何尽可能合理地选择位移模式还有待进一步研究。数值解法应用最为广泛，包括有限单元法、有限条法、有限差分法、有限段法。2009年，Gara等[10]在Newmark模型的基础上，提出了基于位移法建立的组合梁单元，考虑桥面板剪力滞后翘曲、界面滑移以及混凝土收缩徐变效应的长期性能。采用有限差分法和有限段法，可用来计算变高度梁的剪力滞后问题。有限差分法是一种传统的数值计算方法，它的计算时间和贮存量比有限单元法小，但比有限段法大。

针对上述方法的不足，本文将混凝土板宽范围内的应力不均匀分布表述为翘曲位移形状函数与翘曲强度函数的乘积形式，把翘曲强度函数和竖向挠度作为基本变量，由变分法得到组合梁平衡微分方程，并引入剪力滞后系数，来描述组合梁混凝土板横截面应力分布不均匀特性。在此基础上，采用有限差分法求解变截面组合梁剪力滞后效应，推导出常见结构形式的有效宽度解析表达式，并与Ansys模拟结果和规范方法进行了对比，验证了算法的有效性，给出了计算方法的适用范围。

2 有限差分解析求解方法

大跨径的组合梁，在外荷载和自重的作用下，通常会采用变截面的形式以符合内力状态的需要。同时，如果采用悬臂施工方法，变截面梁又与施工的内力状态相吻合。分析变截面组合梁可以采用有限元法，并且计算结果精度较高，但对于大跨度结构的求解存在计算工作量较大的缺点。为此，本节拟基于变分原理，给出基于差分算法的解析表达式。

对于组合梁结构，本文将混凝土板宽范围内的应力不均匀分布表述为翘曲位移形状函数与翘曲强度函数的乘积形式，在考虑剪力滞后效应后的变截面组合梁平衡微分方程及边界条件可表示为式（1）～式（4）：

根据式（1）和式（3）对x求导，并将式（2）中ω'''以及u''消去，可表示为式（4）：

式（5）为变系数微分方程，获得其精确解比较困难，可采用差分法求解。所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题[5]。

具体方法为将梁划分为n段，差分步长为a，在临近节点i处，设翘曲强度函数f为弹性体内的连续函数并按泰勒级数展开。最终可列出每一网格点的差分方程，得到n个差分方程，求解到fn共n个未知量。求解该方程组可以得到全部的解，其计算方程组可采用如式（12）所示的矩阵表达式。

3 剪力分布及滞后系数求解

3.1 剪力分布及滞后系数及其求解方法

在钢-混凝土组合梁设计和分析的过程中，三维板梁通常简化为等效T形梁分析。典型的组合桥面系通常由多根钢梁与混凝土板构成，设计时则可简化为一组平行的T形截面组合梁。按照基于平截面假定的欧拉-伯努利梁理论，组合梁某一截面在竖向弯曲作用下，混凝土桥面板相同高度处的弯曲压应力均匀分布。由于受到剪力滞后效应的影响，混凝土板内的实际压力呈现不均匀分布的状态。为在计算中反映剪力滞后效应对结构的影响，各国设计规范中一般采用一个较小的混凝土板等效宽度代替实际宽度进行计算，并假设有效宽度范围内混凝土的纵向应力沿板宽方向均匀分布。本文在对国内外规范中有效宽度的定义进行比较的基础上，为了更加清晰地反映剪力滞后效应的变化，引入了剪力滞后系数来描述组合梁混凝土板横截面应力分布不均匀，其表达式如式（13）所示：

其中，σx,c为采用欧拉-伯努利梁理论得到的组合梁混凝土板截面应力；实际截面应力为σx,c。

基于上述理论，当结构形式确定后，便可以根据差分步长求得方程组式（12）中系数矩阵[G]和右端项列阵的部分参数。在外荷载已知的情况下，便可以组集列阵，从而求得翘曲强度函数列阵。

3.2 求解方法对比验证

为验证上述理论的正确性，如图1、图2所示，以Dezi等[11]论文中悬臂长度L为40 m组合梁为例，其自由端处钢梁梁高hs=2.8 m，固定端处钢梁梁高为2hs，钢材弹性模量Es=2.1×105MPa；混凝土板高度为0.2 m，混凝土立方体抗压强度标准值为30 MPa，泊松比γ=0.15；假定梁高沿悬臂梁的长度线性规律变化。计算过程中，部分混凝土应力超过了实际混凝土抗拉强度设计值ftd，本文旨在定性地分析应力分布规律，因此假设混凝土仍处于弹性阶段，并未出现开裂问题。

图1 变截面悬臂组合梁剪力分布计算示意

图2 组合梁有限元模型

在均布荷载q=100 kN/m作用下，混凝土板z方向1/2高度平面内，混凝土板与钢腹板相交截面（y=b1）处的解析解应力结果及其与三维实体有限元结果对比情况如图3所示。

图3 混凝土应力沿梁长分布情况

对应位置处的剪力滞后系数γ沿梁长的分布如图4所示。

图4 剪力滞后系数沿梁长分布情况

沿梁长方向应力分布，三维有限元模型计算值与本文解析解理论计算值吻合得非常好；由于约束截面处的局部效应，应力情况比较复杂，有限元计算值与解析解存在误差，但梁长其他范围内的轴向应力数值误差较小；由于变截面梁高与悬臂的内力状态相吻合，使得混凝土板轴向应力σx,c在有效地减小。在均布荷载作用下，变截面悬臂组合梁固定端处的剪力滞后效应明显减弱，剪力滞后系数λ减小9%；对比等截面与变截面组合梁剪力滞后系数沿梁长的分布，正、负剪力滞后效应分界点距离固定端的距离，等截面要比变截面更近；跨宽比L/b保持不变，梁长方向上变截面剪力滞后效应比等截面要小，并且剪力滞后系数变化速率相对缓慢。

4 结语

本文在钢-混凝土组合梁受力平衡微分方程的基础上，采用有限差分法求解变截面组合梁剪力滞后效应，利用解析方法获得了简支组合在均布荷载作用下的有效宽度表达式。对比等截面与变截面组合梁剪力滞后系数沿梁长的分布，正、负剪力滞后效应分界点距离固定端的距离，等截面要比变截面更近；跨宽比保持不变，梁长方向上变截面剪力滞后效应比等截面要小，并且剪力滞后系数变化速率相对缓慢。端部集中荷载作用下，固定端区域的剪力滞后系数，变截面比等截面减少8.8%；在逐渐靠近荷载作用点处，虽然整体应力水平较低，但是随着混凝土板的刚度所占变截面组合梁总刚度的比例在增大，剪力滞后效应出现增大的趋势。